第20期 第五章 计数原理综合(一)-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

书 分组（堆）问题是排列与组合中的重要题型，熟练 地掌握这类题型的解法不仅能帮助我们加深对两个基 本原理的理解，而且也是我们解决复杂的排列与组合问 题的基础，下面举例说明其解法． 例１５名奥运火炬手分别到香港、澳门、台湾进行奥 运知识宣传，每个地方至少去一名火炬手，则不同的分 派方法共有 （　　） （Ａ）１５０种　　　　　（Ｂ）１８０种 （Ｃ）２００种 （Ｄ）２８０种 解析１：５名奥运火炬手可以按１，１，３与２，２，１两种 分法分成三组． （１）５＝１＋１＋３，有三种排法，则分派方法为： Ｃ１５Ｃ １ ４Ｃ ３ ３×３＝６０种； （２）５＝２＋２＋１，有三种排法，则分派方法为： Ｃ２５Ｃ ２ ３Ｃ １ １×３＝９０种． 由分类加法计数原理得共有６０＋９０＝１５０种． 故选（Ａ）． 例２有６本不同的书， （１）分给甲、乙、丙三人，如果有１人得１本，有１人 得２本，有１人得３本，有多少种方法？ （２）分成三堆，其中一堆１本，一堆２本，一堆３本， 有多少种方法？ （３）平均分成三堆，有多少种方法？ （４）分成四堆，其中有２堆各１本，２堆各２本，有多 少种方法？ （５）分给４人，其中有２人各１本，２人各２本，有多 少种方法？ 解析：（１）甲先取１本有 Ｃ１６种取法，乙从余下的５ 本书中取２本有Ｃ２５种取法，最后丙从余下的３本书中取 ３本有Ｃ３３种取法，三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三 人中谁是甲、乙、丙可有 Ａ３３种方法，所以共有 Ｃ １ ６Ｃ ２ ５Ｃ ３ ３Ａ ３ ３ ＝３６０种方法． （２）取１本作为第一堆有Ｃ１６种取法，从余下的５本 书中取２本作为第二堆有Ｃ２５种取法，最后从余下的３本 书中取３本作为第三堆有 Ｃ３３种取法，所以共有 Ｃ １ ６Ｃ ２ ５Ｃ ３ ３ ＝６０种方法． （３）取２本作为第一堆有Ｃ２６种取法，从余下的４本 书中取２本作为第二堆有Ｃ２４种取法，最后从余下的２本 书中取２本作为第三堆有Ｃ２２种取法，因为是平均分堆有 重复，所以共有 Ｃ２６Ｃ ２ ４Ｃ ２ ２ Ａ３３ ＝１５种方法． （４）同（３）有 Ｃ１６Ｃ １ ５Ｃ ２ ４Ｃ ２ ２ Ａ２２Ａ ２ ２ ＝４５种方法． （５）同（３）（４）有 Ｃ１６Ｃ １ ５Ｃ ２ ４Ｃ ２ ２ Ａ２２Ａ ２ ２ ·Ａ４４ ＝１０８０种方法． 评注：遇到不同元素的分组（堆）问题，一般先将元 素按要求分组再排列即可． 书 组合问题是高考的重要内容，其考查形式多以选择 题、填空题为主，解题时应根据问题的题设特点，灵活运 用相应的策略．现举例说明解决组合问题的常用策略， 供同学们参考． 一、正难则反 例１从５名男生和５名女生中选３人组队参加某集 体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数 为 （　　） （Ａ）１００　　　　　　　（Ｂ）１１０ （Ｃ）１２０ （Ｄ）１８０ 解析：至少有一名女生入选的方案数等价于全部无 限制条件的方案数减去全是男生的方案数，即 Ｃ３１０－Ｃ ３ ５ ＝１２０－１０＝１１０．故选（Ｂ）． 点评：本题若正面求解，需按有一名、两名、三名女 生入选三种情况讨论，求解过程较繁琐，而通过“正难则 反”求解显然简捷． 二、等价转化 例２正方体的８个顶点中，过任意两点均有一条直 线，则可以构成 对异面直线． 解析：我们知道一个三棱锥有３对异面直线，因此， 问题转化为求三棱锥的个数，而一个三棱锥与４个不共 面的点一一对应，故Ｃ４８减去４点共面的平面个数１２，所 以可以构成３（Ｃ４８－１２）＝１７４对异面直线． 点评：对于直接求解困难的问题，可仔细审题，将问 题等价转化为容易解决的问题再求解． 三、构造方程 例３在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手 之间恰好比赛１场，但有３名选手各比赛了２场之后就 退出了比赛，这样全部比赛只进行了５０场，那么上述３ 名选手之间比赛的场数为 场． 解析：设３名选手之间比赛了ｘ场，共有 ｎ名选手， 那么３名选手与其余选手比赛了 ６－２ｘ场，其余的 （ｎ－３）名选手之间每两名选手恰好比赛１场，共比赛 Ｃ２ｎ－３场，因此比赛总场数为Ｃ ２ ｎ－３＋ｘ＋６－２ｘ． 根据题意，得Ｃ２ｎ－３＋ｘ＋６－２ｘ＝５０，即得（ｎ－３）（ｎ －４）＝８８＋２ｘ，ｘ∈Ｎ，且０≤ｘ≤３． 当ｘ＝０时，得ｎ２－７ｎ－７６＝０，无正整数解； 当ｘ＝１时，得ｎ２－７ｎ－７８＝０，解得ｎ＝１３； 当ｘ＝２或３时，方程无正整数解． 故上述３名选手之间比赛的场数为１场． 点评：对于这一类组合问题，从问题的数量关系入 手，根据组合的定义、公式及题设中的相等关系等构造 方程，然后通过解方程即可使问题获解． 四、挡板分隔 例４一个由１０人组成的球队，他们由七个学校的 学生组成，每校至少有一人，其分配方案共有 种． 解析：１０人排成一列，用６块挡板分成７段，每段至 少