第19期 二项式定理-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

书 一、颠倒通项公式中的顺序致误 例１若（３槡ｘ＋ｘ －１）ｎ的展开式中，第５项是常数项，问 中间项是第几项？ 错解：因为Ｔ４＋１ ＝Ｃ ４ ｎｘ ４ ３ｘ－（ｎ－４） ＝Ｃ４ｎｘ １６－３ｎ ３ ， 若第５项是常数项， 则有 １６－３ｎ ３ ＝０，解得ｎ＝ １６ ３． 由于ｎ为自然数，所以此题无解． 剖析：对于二项式（ａ＋ｂ）ｎ与（ｂ＋ａ）ｎ的全部展开 式是相同的，只是前后顺序颠倒而已；但具体涉及到二 项展开式的某一项时不一定相同，因此要注意项数与顺 序的关系． 正解：因为Ｔ４＋１ ＝Ｃ ４ ｎｘ ｎ－４ ３ｘ－４ ＝Ｃ４ｎｘ ｎ－１６ ３ ， 若第５项是常数项， 则有 ｎ－１６ ３ ＝０，解得ｎ＝１６． 所以中间项是第９项． 二、错把展开式中的第ｒ＋１项当作第ｒ项致误 例２求（２ｘ＋ｙ）５的展开式中的第３项． 错解：Ｔ３ ＝Ｃ ３ ５（２ｘ） ５－３ｙ３ ＝４０ｘ２ｙ３． 剖析：我们可以通过二项展开式的通项公式求出展 开式中的任一项，但必须要注意展开式的通项公式为 Ｔｒ＋１ ＝Ｃ ｒ ｎａ ｎ－ｒｂｒ．上述解法错误在于将第ｒ项对应的二项 式系数错误地认为是Ｃｒｎ．实际上，Ｃ ｒ ｎ是第ｒ＋１项的二项 式系数，而第ｒ项的二项式系数是Ｃｒ－１ｎ ． 正解：由（２ｘ＋ｙ）５的展开式的通项公式 Ｔｒ＋１ ＝ Ｃｒ５（２ｘ） ５－ｒｙｒ，得Ｔ３ ＝Ｃ ２ ５（２ｘ） ５－２ｙ２ ＝８０ｘ３ｙ２． 即展开式中的第３项为８０ｘ３ｙ２． 三、混淆“二项式系数”与“项的系数”的概念致误 例３设（ｘ－槡６） ｎ的展开式中，第３项的系数为３６， 试求含ｘ２的项． 错解：第３项的系数为Ｃ２ｎ，依题意得Ｃ ２ ｎ ＝３６， 化简得ｎ２－ｎ－７２＝０． 解此方程并舍去不合题意的负值，得ｎ＝９． 所以（ｘ－槡６） ９展开式的通项为 Ｔｒ＋１ ＝Ｃ ｒ ９ｘ ９－ｒ（－槡６） ｒ＝（－槡６） ｒＣｒ９ｘ ９－ｒ， 令９－ｒ＝２，得ｒ＝７． 因此含ｘ２的项为（－槡６） ７Ｃ７９ｘ ２ ＝－７７７６槡６ｘ ２． 剖析：二项式系数是展开式中的Ｃｒｎ（ｒ＝０，１，２，…， ｎ），项的系数是各项字母的系数．上面解答将“二项展开 式的第３项的二项式系数”当作了“第３项的系数”，显 然是错误的． 正解：因为（ｘ－槡６） ｎ展开式的通项为 Ｔｒ＋１ ＝ （－槡６） ｒＣｒｎｘ ｎ－ｒ， 因此第３项为Ｔ３ ＝（－槡６） ２Ｃ２ｎｘ ｎ－２， 所以（－槡６） ２Ｃ２ｎ ＝３６， 即ｎ２－ｎ－１２＝０，解得ｎ＝４． 则Ｔｒ＋１ ＝（－槡６） ｒＣｒ４ｘ ４－ｒ，由４－ｒ＝２，得ｒ＝２． 所以 （ｘ－槡６） ｎ 的 展 开 式 中 含 ｘ２ 的 项 为 （－槡６） ２Ｃ２４ｘ ２ ＝３６ｘ２． 四、忽略负号致误 例４ (已知 槡ｘ－ａ 槡 )ｘ ５ 的展开式中含ｘ ３ ２的项的系数 为３０，则ａ＝ （　　） （Ａ）槡３　　（Ｂ）－槡３　　（Ｃ）６　　（Ｄ）－６ 错解：（Ｃ）　Ｔｒ＋１ ＝Ｃ ｒ ５（槡ｘ） ５ (－ｒ ａ 槡 )ｘ ｒ ＝Ｃｒ５ａ ｒｘ ５ ２－ｒ， 令ｒ＝１，可得５ａ＝３０，所以ａ＝６． 剖析： (二项式 槡ｘ－ａ 槡 )ｘ ５ 中的项为槡ｘ，－ ａ 槡ｘ ，错解 中误认为是槡ｘ， ａ 槡ｘ ，忽略了负号而出现了错解． 正解：（Ｄ）　Ｔｒ＋１ ＝Ｃ ｒ ５（－１） ｒａｒｘ ５ ２－ｒ， 令ｒ＝１，可得 －５ａ＝３０，所以ａ＝－６． 书 应用一：求展开式中的常数项 例１ 槡ｘ＋ ２( )ｘ ６ 的展开式中常数项为 （　　） （Ａ）３０　　（Ｂ）６０　　（Ｃ）９０　　（Ｄ）１２０ 解：Ｔｒ＋１ ＝Ｃ ｒ ６×（槡ｘ） ６－ｒ× ２( )ｘ ｒ ＝２ｒ×Ｃｒ６×ｘ ６－３ｒ ２， 由６－３ｒ＝０，得ｒ＝２，所以常数项为２２×Ｃ２６＝６０，故选 （Ｂ）． 点评：求解二项展开式中的常数项问题，可通过确 定通项中ｘ的指数应满足的条件建立等式，进而确定常 数项是第几项． 应用二：求展开式中的指定项的系数 例２ ｘ ２－ ２( )ｘ ５ 的展开式中 １ ｘ的系数等于 （　　） （Ａ）１０　　（Ｂ）－１０　　（Ｃ）２０　　（Ｄ）－２０ 解：设展开式中含 １ ｘ的项为第ｒ＋１项，则Ｔｒ＋１＝Ｃ ｒ ５ × ｘ( )２ ５－ｒ × －２( )ｘ ｒ ＝（－１）ｒ×Ｃｒ５×２ ２ｒ－５×ｘ５－２ｒ． 令５－２ｒ＝－１，得ｒ＝３，故展开式中 １ｘ的系数为 （－１）３×Ｃ３５×２ ２×３－５ ＝－２０，故选（Ｄ）． 点评：解答此类题注意区分二项式系数与项的系 数：二项式系数是指二项展开式中出现的组合数Ｃｒｎ（ｒ＝ ０，１，２，…，ｎ），而项的系数是指每一项前的字母系数． 应用三：求展开式中的有理项 例３在（槡３ｘ＋ ３ 槡２） １００的展开式中，系数为有理数的 共有 （　　） （Ａ）