第04讲 平面向量基本定理-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第04讲 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. （2）对平面向量基本定理的理解 ① 这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示. ② 对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的. ③ 同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且. ④ 这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一. 2．平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 考点1：用基底表示向量 【例1】已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据基底不共线原则判断即可. 【解析】只要两向量不共线便可作为基底， 故对于A选项，，共线，不满足； 对于B选项，，共线，不满足； 对于C选项，共线，不满足； 对于D选项，与不共线，故满足. 故选：D. 【例2】（1）D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论： ①＝－a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＝a. 其中正确的结论的序号为 ． （2）如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. 【分析】用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则． 【解析】（1）如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，①正确； ＝＋＝a＋b，②正确； ＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，③正确； ④＝＝－a，④不正确． （2）＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋ ＝－＋＋＝b－a. 【变式探究】 1．若本例(2)中条件不变，试用a，b表示. 【解析】由平面几何的知识可知＝， 故＝＋＝＋ ＝a＋＝a＋b－a ＝a＋b. 2．若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. 【解析】　＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a. ＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b. 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” （1）依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． （2）模型： 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】 不共线的向量能作为基底， 因为，所以向量，共线，故排除A； 假设，解得，无解， 所以向量，不共线，故B正确； 因为，所以，共线，故排除C； 因为，所以，共线，故排除D， 故选：B 2．若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ） A．不可以表示平面内的所有向量； B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对； C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使； D．若存在实数使，则. 【答案】D 【详解】 由平面向量基本定理可知，A错误，D正确； 对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定， 那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误； 对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个， 或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误； 故选：D. 3．在△ABC中，点D在AB上，满足，若，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为， 所以 ， 故选：A 4．在中，边上的点满足，设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由，得，∴， 故选：B. 考点2：向量的夹角 【例3】（1）已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于 ． （2）若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 【分析】可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决． 【解析】作＝a，＝b，则c＝