第11讲 离散型随机变量及其分布列-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第11讲 离散型随机变量及其分布列 【题型归纳目录】 题型一：随机变量的概念 题型二：离散型随机变量的判断 题型三：用随机变量表示事件的结果 题型四：分布列的性质及其应用 题型五：两点分布 题型六：利用定义求离散型随机变量的均值 题型七：离散型随机变量均值的性质 题型八：离散型随机变量均值的应用 题型九：求离散型随机变量的方差 题型十：方差的性质的应用 题型十一：均值与方差的综合应用 题型十二：n重伯努利试验的判断 题型十三：n重伯努利试验概率的求法 题型十四：二项分布的均值与方差 题型十五：利用超几何分布的公式求概率 题型十六：超几何分布的分布列 题型十七：超几何分布的综合应用 【知识点梳理】 知识点一：随机变量及其分布列 1、随机变量 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量． 2、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值． 3、随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 4、离散型随机变量的分布列 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和 （1）离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率 P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． （2）可以用表格来表示X的分布列，如下表 … … … … 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 5、离散型随机变量的分布列的性质 （1）pi≥0，i＝1，2，…，n； （2） p1＋p2＋…＋pn＝1． 6、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝P，如果P（A）＝p，则P（）＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 知识点二：离散型随机变量的数字特征 1、离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 3、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 4、离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 知识点三：次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点四：二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3