第12讲 正态分布-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第12讲 正态分布 【题型归纳目录】 题型一：正态曲线的图象的应用 题型二：利用正态分布的对称性求概率 题型三：标准正态分布 【知识点梳理】 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布． 2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 3、正态分布的期望与方差 若，则，． 4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 5、当或时，服从标准正态分布，即． 【典型例题】 题型一：正态曲线的图象的应用 例1．（2022·全国·高二课时练习）设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（    ）． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 【答案】B 【解析】因为，所以， 即正态总体的平均数与标准差分别为与． 故选：B． 例2．（2022·江苏·高二课时练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由正态分布密度函数表达式知，． 故选：D． 例3．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（理））某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（    ） A．甲学科总体的均值最小 B．乙学科总体的方差及均值都居中 C．丙学科总体的方差最大 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同 【答案】C 【解析】由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙． 故选：C． 例4．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【解析】由正态密度曲线的性质可知， 、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得， ； 又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以， ； 故A、B错误． 由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数， ． 故C正确，D错误． 故选：C． 题型二：利用正态分布的对称性求概率 例5．（2022·全国·高二单元测试）正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布．早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从．若，则______． 【答案】0．09 【解析】因为X近似服从，所以X的正态分布曲线关于对称，故． 故答案为：0．09． 例6．（2022·河南商丘·高二期末（理））若随机变量，且，则________． 【答案】0．74 【解析】． 故答案为：0．74． 例7．（2022·四川·绵阳市开元中学高二期末（理））已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为__________． 【答案】 【解析】． 故答案为： 题型三：标准正态分布 例8．（2022·全国·高二期末）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表）； （2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且． （i）利用直方图得到的正态分布，求； （ii）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0．001），以及Z的数学期望（结果精确到0．0