15.第四章 平面向量（课件） - 吉林省高职高专院校单独招生数学（讲义+课件）

平面向量 一、基础知识 1．向量的有关概念 (1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量． 以A为起点、B为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量． 平面向量 (2)向量的长度(模)：向量的大小即向量的长度(模)，记为||.　 平面向量 2.几种特殊向量 平面向量 平面向量 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同； 与向量平行的单位向量有两个，即向量和－. 平面向量 3.向量的线性运算 平面向量 平面向量 平面向量 ❷向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点. 平面向量 4．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性. 平面向量 二、常用结论 (1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 平面向量 (2)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 平面向量 考点一 平面向量的有关概念 [典例]　给出下列命题： ①若a＝b，b＝c，则a＝c； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是________． 平面向量 [解析]　①若a＝b，b＝c，则a＝c； ①正确． ∵a＝b， ∴a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c， ∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. 平面向量 [解析]②若A，B，C，D是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ②正确． ∵＝， ∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则∥且||＝||，因此，＝. 平面向量 [解析]③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ③不正确． 当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． 平面向量 [解析]④若a∥b，b∥c，则a∥c. ④不正确． 考虑b＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. [答案]　①② 平面向量 [解题技法]　向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． 平面向量 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． 平面向量 [题组训练] 1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； ③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误的命题的个数为(　　) A．0　　　　　　　　　　 　 B．1 C．2 D．3 平面向量 解析：选D　 ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点． ②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0. ③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个， 故选D. 平面向量 2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 平面向量 解析：选D　 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题； 若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题． 综上所述，假命题的个数是3. 平面向量 考点二 平面向量基本定理 1．(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 平面向量 (2)基底：不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 平面向量  1.基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； 2.基底给定，同一向量的分解形式唯一； 3.如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 平面向量 【习题】 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　　) 2．若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　) 3．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) 4．当两个非