11.第三章 三角恒等变换（课件） - 吉林省高职高专院校单独招生数学（讲义+课件）

三角恒等变换 一、基础知识 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. 三角恒等变换 C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. 三角恒等变换 T(α±β)：tan(α±β)＝.（α，β，α±β≠+kπ，k∈Z） 三角恒等变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系： C(α±β)同名相乘，符号反； S(α±β)异名相乘，符号同； T(α±β)分子同，分母反. 三角恒等变换 三角恒等变换 2．二倍角公式 S2α：sin 2α＝2sin αcos α. 三角恒等变换 C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 三角恒等变换 T2α：tan 2α＝（α≠kπ+，且α≠+，k∈Z） 三角恒等变换 二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3α是的二倍角． 三角恒等变换 二、常用结论 (1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 三角恒等变换 (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 三角恒等变换 (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． 三角恒等变换 (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ). （其中，sinφ=cosφ= 三角恒等变换 考点一 三角函数公式的直接应用 (1)若sin（π-α）＝ ，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 三角恒等变换 [解析] (1)因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π， 所以cos α＝－＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××（-）＝－. 答案(1)B 三角恒等变换 (2)若sinα=，则cos2α=( ) A. B. C.7 D.9 三角恒等变换 答案 (2)A 三角恒等变换 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用 [典例]　(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 三角恒等变换 [解析]　 (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2-②2 得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－， ∴sin(α＋β)＝－. 三角恒等变换 (2)计算：tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝________. 三角恒等变换 [解析]　 (2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°·tan 35° ＝(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35° ＝. 三角恒等变换 【课时跟踪检测】 A级 1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　) A．1　　　　　　　　　　 　 B. C. D．－ 三角恒等变换 解析：选B　 sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165° ＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15° ＝sin(45°－15°) ＝sin 30° ＝. 三角恒等变换 2．若2sin x＋cos（ - x）＝1，则cos 2x＝(　　) A．－ B．－ C. D．－ 三角恒等变换 解析：选C　 因为2sin x＋cos（ - x）＝1， 所以3sin x＝1， 所以sin x＝， 所以cos 2x＝1－2sin2x＝. 三角恒等变换 3.计算sin 164°·sin 224°＋sin 254°·sin 314°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 三角恒等变换 解析： 原式＝sin 16°·(－cos 46°)＋(－cos 16°)·(－sin 46°) ＝sin 46°·cos 16°－cos 46°sin 16° ＝sin (46°－16°) ＝sin 30° ＝. 故选B. 三角恒等变换 4.已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋3，则f(x)的最小正周期为________，最小值为________． 三角恒等变换 解析：f(x)＝sin2x＋cos 2x＋1＋3 ＝sin 2x＋cos 2x＋4 ＝2sin ＋4. ∴最小正周期为T＝π，最小值为2. 答案：π　2 三角恒等变换 5.(多选题)下式各式的值正确的是(　　) A．sin 15°cos 15°＝ B．cos2－sin2＝ C．＝1 D．2cos222.5°－