16.第四章 向量运算（课件） - 吉林省高职高专院校单独招生数学（讲义+课件）

向量运算 一、平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝(x1－x2，y1－y2) λa＝(λx1，λy1) |a|＝ 若a=b，则x1=x2，y1=y2　　　 　　 　　　　　　　　 向量运算 (2)向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 向量运算 二、平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价． 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．　 向量运算 三、平面向量的数量积 （一）基础知识 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． 向量运算 (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a，b共线且同向； 当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b； 当θ＝π时，两向量a，b共线但反向． 向量运算 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b| cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 向量运算 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b的方向上的投影． 向量运算 (2)a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．　 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量。　　　　　　　　 向量运算 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 向量运算 (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 向量运算 5．平面向量数量积的性质 设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. 向量运算 (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 向量运算 (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 向量运算 6．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则 (1)|a|＝ (2)a·b＝x1x2＋y1y2 (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 (4)cos θ＝. 向量运算 （二）常用结论汇总 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 向量运算 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 向量运算 [典例]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求M，N的坐标及向量的坐标． 向量运算 [解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． 向量运算 (2)设O为坐标原点， ∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)， ∴＝(9，－18)． 向量运算 [变透练清] 1.本例条件不变，若a＝mb＋nc，则m＝________，n＝________. 向量运算 解析： ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝(5，－5)， ∴ 解得 答案：－1　－1 向量运算 [典例]　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当k为何值时，k