6.2.4 向量的数量积-【数学一起课件】高中数学必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 人教版高中数学必修第二册（A版） 讲课老师：XXX 6.2.4 向量的数量积 高中 数学 知识回顾 向量的数乘运算 向量的数乘 向量数乘的 运算律 定义 几何意义 实数与向量的积，记作 向量线性运算 向量共线定理 向量加、减、数乘运算的统称 存在唯一一个实数，使 学习目标 理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量； 会求平面向量的数量积、投影向量； 熟记平面向量数量积的性质； 能运用数量积的性质解决问题； 通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的思维习惯。 情景导入 我们一起来看一下物理中功的概念： 如果一个物体在力F的作用下产生位移，那么力所做的功 其中是与的夹角 思考：前面我们学习了向量的加、减运算。类比数的运算，那么向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 由功的概念可知，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。由此，我们引入“数量积”的概念。 01 向量的夾角 向量的夹角 已知两个非零向量，是平面上的任意一点，作， ，则叫做向量与的夹角。 定义 与同向 与反向 与垂直，记作 特殊情况 向量的夹角 对两向量夹角的理解 （1）根据向量夹角的定义，两非零向量夹角是将两个向 量的起点移到同一点，这样两向量所成的角才是这 两个向量的夹角。 （2）例如，在中，不是与的夹角， 才是与的夹角，其中是平移所得。 （3）向量与之间的夹角的取值范围是，这与两直线夹角的范围 是不一样的(向量有方向)，注意从定义上理解。 （4）两向量垂直⇔夹角是，即 （5）向量与的夹角也可以表示为 02 向量的数量积 向量的数量积 1 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积）记作，即 定义 规定： 零向量与任一向量的数量积为. 向量的数量积 1 （1）在书写数量积时，与之间用实心圆点“”连接，不能写成“”， 更不能不写“”。 （2）我们规定了零向量与任意向量的数量积为0，但由，不能反 推出或一定是零向量，这是因为两个向量垂直时，其夹角为， 此时也有 （3）设两个非零向量之间的夹角为： ① 当时，； ② 当为锐角时，； ③ 当为直角时，； ④ 当为钝角时，； ⑤ 当时，。 ★ 补充说明： 向量的数量积 1 （1）向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是 一个数量，其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符 号由夹角的余弦值决 定，可以为正，可以为负，也可以为零。 （2）要注意 （数量），但 （向量）. 线性运算与数量积的区别： 例题解析 2 例9 已知，求. 解： 例10 设，求的夹角. 解： 由，得 因为，所以 投影与投影向量 3 如图，设，是两个非零向量，我们考虑如下得变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影， 叫做向量在向量上的投影向量。 如图，我们可以在平面内任取一点，作过点作直线的垂线，垂足为，则 就是向量在向量上的投影向量。 投影与投影向量 3 如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间又怎样的关系？ 探究 显然，与共线，于是 . 下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式。我们分为锐角、直角、钝角以及等情况进行讨论。 方向 - 与 同向 - 与 反向 - 图形 投影与投影向量 3 对于任意的，都有 由此可得 03 向量数量积的性质与运算律 向量数量积的性质 1 思考 从前面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性。这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则有如下性质： ① ② ③当与同向时，；当与反向时，。特别地 或。 ④此外，由还可以得到， . 既可以证明向量垂直，也可以由垂直进行相关计算 可以用来求向量的模，实现实数运算往向量运算的转化 可以通过向量来证明不等式问题或者求最值问题 向量数量积的运算律 2 对于向量实数，有 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： （1） （2 （3） 和实数的交换律相同 和实数的结合律相同 和实数的分配律相同 向量数量积的运算律 2 下面我们利用向量投影证明分配律(3) 证明： 如图，任取一点，作，， ， 。 设向量与的夹角分别为，，，它们在向量上的投影向量分别为， ， 与方向相同的单位向量为，则 向量数量积的运算律 2 整理，得 所以 即 所以 因此 因为，所以 ， 于是 即 向量数量积的运算律 2 【答案】 思考 设是向量， 一定成立吗？为什么？ ∵表示一个与共线的向量， 而表示一个与共线的向量， 但与不一定共线。 所以， 不一定成立。 例题解析 3 例1