6.2.3 向量的数乘运算-【数学一起课件】高中数学必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 人教版高中数学必修第二册（A版） 讲课老师：XXX 6.2.3 向量的数乘运算 高中 数学 知识回顾 向量的减法运算 向量的减法 向量减法的几何意义 “共起点，连终点，指被减” 相反向量 减法的定义 与向量 长度相等，方向相反的向量，记作 两个向量差的运算 学习目标 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。 情景导入 我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与那些因素有关？ 01 向量的数乘 问题探究 1 如图，。类比数的乘法，我们把 记作 ，即。显然的方向与的方向相同， 的长度是 的长度的3倍，即. 类似地，如图可知，，我们把 记作 ，即。显然的方向与的方向相反， 的长度是 的长度的3倍，即. 向量数乘的定义 2 （1）. （2）当时， 的方向与 的方向相同； 当时， 的方向与 的方向相反； 当时，. 定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作。 长度和方向规定如下： 补充说明 3 向量数乘的结果仍然是向量，这个向量的长度、方向都和以及向量 有关； 实数和向量可以相乘，但不能相加减，， 无意义； 02 向量数乘的几何意义 问题探究 1 探究 向量数乘的几何意义是什么？ 如右图，在向量数乘中，可视为将向量 的长度伸长（ 或缩短（ 的倍数。 的符号表示能够改变向量的方向，当时， 的方向与 的方向相同；当时， 的方向与 的方向相反；当时， 常见的误区 2 容易出错的是当 或 的时候，误将 当成实数 。 当或 时，均有 ，反之亦成立，即 或 (m∈R) 03 向量数乘的运算律 向量数乘的运算律 1 思考 如果把非零向量 的长度伸长到原来的倍，方向不变得到向量 ，向量 该如何表示？向量之间的关系怎样？ 【答案】 由已知得： ， 和 的方向相同， 则 向量数乘的运算律 1 设 为实数，那么 （1） （2） （3） 特别地，我们有 以（1）为例： ①若 或 或，显然成立； ②若 或 或 ，则根据向量数乘的定义有 ，以及 ③即 与 的模长相等 综上， 向量数乘的运算律 1 向量数乘运算律的验证： 注意 ， ， 这些特殊情况及，同号、异号的情况 线性运算 2 定义 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是向量。 对于任意向量，以及任意实数，恒有 线性运算 2 难点点拨 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，只不过这里的“同类项”、“公因式”都是向量，实数可以看做是向量的系数。 对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减，即“先乘除，后加减”。 例题解析 3 例5 计算： （1）; （2）; （3） 解： （1）原式 ; （2）原式; （3）原式 例题解析 3 例6 如图，的两条对角线相交于点，且，用表示， ， 和. 解： 在中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 04 向量共线定理 问题探究 1 思考 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 当时， 的方向与 的方向相同；当时， 的方向与 的方向相反； 即可以发现，实数与向量的积与原向量共线。 【答案】 向量共线定理 2 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知 与 共线。 反过来，已知向量 与 共线，且向量 的长度是向量 的长度的 倍，即，那么当 与 同方向时，有；当 与 反方向时，有。 综上，我们有如下定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。 向量共线定理 2 难点点拨 若将去掉，则当时，显然向量 与 共线； 当，若，则不存在实数，使成立，此时向量 与 不共线； 当，若，则对一切的实数 ，都有 ，与“唯一一个实数”矛盾。 向量共线定理中规定的原因： 向量共线定理 2 当向量时，向量 与任意向量 共线； 当向量，对于向量，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义知 与 共线； 反之，已知向量 与 共线，且向量 的长度是向量 的长度的倍，即，那么当 与 同方向时，有 ；当 与 反向时，有； 如果向量 与 不共线，且 ，那么。 向量共线的条件 例题解析 3 例7 如图，已知任意两个非零向量 ，试作。猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想。 分析： 判断三点之间的位