第六章 微专题2 四点共圆&微专题3 圆中最值问题（精讲册）-【一战成名】2022江西中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·江西·数学 微专题２　四点共圆 方法 图示 圆心 方法一 到定点的距离等于定长的点都在同一 个圆上（圆的定义） （人教九上Ｐ８０例１） 该定点 方法二 共斜边的两个直角三角形的四个顶点 共圆 （人教九上Ｐ８６图２４．１－１３） 　　 斜边中点 方法三 共边三角形且公共边所对角相等的四 个顶点共圆（同弧所对圆周角相等） 两条边垂直 平分线的交点 方法四 对角互补的四边形的四个顶点共圆 （圆内接四边形的性质） 两条边垂直 平分线的交点 方法五 若一个四边形的外角等于它的内对 角，则这个四边形的四个顶点共圆 两条边垂直 平分线的交点 　　针对训练 １．（人教九上Ｐ８０例１题改编）已知，如图，ＢＤ，ＣＥ是△ＡＢＣ的高，Ｍ为ＢＣ的中点．试说明点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ在以点 Ｍ为圆心的同一个圆上． 第１题图 所用方法：　到定点的距离等于定长的点都在同一圆上　． 【自主解答】 证明：如解图，连接ＭＥ，ＭＤ， ∵ＢＤ、ＣＥ是△ＡＢＣ的高，Ｍ为ＢＣ的中点， ∴ＭＥ＝ＭＤ＝ＭＣ＝ＭＢ＝１２ＢＣ， ∴点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ在以点Ｍ为圆心的同一个圆上． ７０１ 一战成名·江西·数学 ２．ＡＦ是⊙Ｏ的直径，Ｂ，Ｃ是圆上两点，ＡＢ与 ＡＣ的延 长线分别交过点Ｆ的切线于点Ｄ，Ｅ． 求证：Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｄ四点共圆． 第２题图 所用方法：　对角互补的四边形的四个顶点共圆　． 【自主解答】 证明：连接ＢＦ，如解图， ∵ＡＦ为⊙Ｏ的直径，ＤＥ与⊙Ｏ相切于点Ｆ， ∴ＡＦ⊥ＤＥ， ∵点Ｂ在圆上， ∴∠ＡＢＦ＝９０°，∠ＡＦＢ＝∠Ｄ， ∵∠ＡＦＢ＝∠ＡＣＢ， ∴∠ＡＣＢ＝∠Ｄ， ∵∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＥ＝１８０°， ∴∠Ｄ＋∠ＢＣＥ＝１８０°， 即四边形ＢＤＥＣ的对角互补， ∴Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｄ四点共圆． ３．如图，已知△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，将△ＡＣＢ绕点Ａ顺 时针旋转一个角度得△ＡＤＥ，连接ＢＥ，ＣＤ，延长 ＣＤ 交ＢＥ于点Ｆ． 求证：点Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｆ四点共圆． 第３题图 所用方法： 　． 【自主解答】 证明：∵ＡＣ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＡＥ， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ，∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ． ∵∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＥ， ∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＥ． ∵２∠ＡＣＤ＋∠ＣＡＤ＝１８０°， ２∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＥ＝１８０°， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＥ， ∴Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｆ四点共圆． ４．如图，已知四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，过点 Ａ和 点Ｂ的圆与ＡＤ，ＢＣ分别交于Ｅ，Ｆ点． 求证：Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ四点共圆． 第４题图 所用方法： 　． 【自主解答】 证明：如解图，连接ＥＦ， ∵四边形ＡＢＦＥ是圆内接四边形， ∴∠Ａ＋∠ＢＦＥ＝１８０°， 又∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０，∴∠ＢＦＥ＝∠Ｄ， ∴Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ四点共圆． ５．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ是⊙Ｏ的切线，ＢＣ交 ⊙Ｏ于点Ｄ，点Ｅ是ＡＣ的中点，连接ＯＤ． 求证：Ｏ，Ａ，Ｅ，Ｄ四点共圆． 第５题图 所用方法： 　． 【自主解答】 证明：连接ＯＥ，如解图所示， ∵ＡＣ是⊙Ｏ的切线， ∴∠ＢＡＣ＝９０°， ∵ＯＡ＝ＯＢ，ＡＥ＝ＥＣ， ∴ＯＥ是△ＡＢＣ的中位线， ∴ＯＥ∥ＢＣ， ∴∠ＡＯＥ＝∠Ｂ，∠ＥＯＤ＝∠ＯＤＢ， ∵ＯＢ＝ＯＤ，∴∠Ｂ＝∠ＯＤＢ， ∴∠ＡＯＥ＝∠ＥＯＤ， 在△ＡＯＥ和△ＤＯＥ中， ＯＡ＝ＯＤ ∠ＡＯＥ＝∠ＤＯＥ ＯＥ＝ { ＯＥ ， ∴△ＡＯＥ≌△ＤＯＥ（ＳＡＳ）， ∴∠ＯＤＥ＝∠ＢＡＣ＝９０°， ∴Ｏ，Ａ，Ｅ，Ｄ在以ＯＥ为直径的圆上， 即Ｏ，Ａ，Ｅ，Ｄ四点共圆                                                                     ． ８０１ 一战成名·江西·数学 微专题３　圆中最值问题 点圆最值 一个定点到圆上的距离分两种情况： 如图１，点Ｐ在⊙Ｏ内时，点Ｐ到⊙Ｏ上的最近距离为ＡＰ，最远距离为ＢＰ，即最远距离＋最近距离＝直径； 如图２，点Ｐ在⊙Ｏ外时，点Ｐ到⊙Ｏ上的最近距离为ＡＰ，最远距离为ＢＰ，即最远距离－最近距离＝直径； 图１ 　　　　　　 图２ 练习１　已知一点Ｐ和⊙Ｏ上的点的最近距离为４ｃｍ，最远距离为８ｃｍ，则⊙Ｏ的半径是　６ｃｍ或２ｃｍ　． 【变式】　已知Ａ为⊙Ｏ外一点，ＡＢ与⊙Ｏ相切于Ｂ点，点Ｐ是⊙Ｏ上的一个动点，若ＯＢ＝５，ＡＢ＝１２，则ＡＰ的 最小值为　８　． 线圆最值 如图３，点Ｐ为⊙Ｏ上一动点，直线ＡＢ为定直线，当点Ｐ与 Ｐ１重合时，点Ｐ到直线 ＡＢ的距离最小，当点 Ｐ与 Ｐ２重合时，点Ｐ到直线ＡＢ的距离最大，即圆上的点到直线的最远距离－最近距离＝直径． 图３ 　　　　　　 图４ 如图４，已知线段Ａ