第07讲 两个基本计数原理-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第07讲 两个基本计数原理 【题型归纳目录】 题型一：分类加法计数原理 题型二：分步乘法计数原理 题型三：两个原理的对比应用 题型四：涂色问题 题型五：数字排位问题 题型六：占位模型中标准的选择 题型七：列举法 【知识点梳理】 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 1、分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、加法原理的特点是： ① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 知识点二、分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2、乘法原理的特点： ① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ② 完成每一步有若干种方法； ③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别： 1、分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关． 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用 1、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： （1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？ （2）然后考虑如何完成？主要有三种类型 ①分类或分步． ②先分类，再在每一类里再分步． ③先分步，再在每一步里再分类，等等． （3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？ 【典型例题】 题型一：分类加法计数原理 例1．（2022·江苏·高二阶段练习）某高中为高一学生提供四门课外选修课：数学史､物理模型化思维､英语经典阅读､《红楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙､丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有___________种. 【答案】20 【解析】若乙选数学史： 丙若选数学史，则丁有2种选法；丙若选物理模型化思维，则丁有3种选法； 丙若选英语经典阅读，则丁有2种选法；丙若选《红楼梦》人物角色分析，则丁有3种选法，共10种， 若乙选物理模型化思维，同理有10种. 故共有20种. 故答案为：. 例2．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有_______． 【答案】28种 【解析】当a为0时，b只能取0，1两个数； 当a为9时，b只能取8，9两个数； 当a为其它数时，b都可以取三个数，例如时，可取. 综上，一共有种情形. 故答案为：28种 例3．（2022·安徽·铜陵市实验高级中学高二阶段练习）从名女同学和名男同学中，选出人主持某次主题班会，不同的选法种数为______． 【答案】 【解析】选出人作为主持人，可分选出女主持人和男主持人两类， 则选出人作为女主持人，有种不同的选法， 选出人作为男主持人，有种不同的选法， 所以共有种不同的选法. 故答案为：. 题型二：分步乘法计数原理 例4．（2022·山东聊城一中高二期中）全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________． 【答案】625 【解析】由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步乘法计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是种，即625种， 故答案为：625. 例5．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原