第十八章 专题三 四边形综合——全等类 个性化同步分层作业 2021—2022学年人教版数学八年级下册

专题三 四边形综合——全等类 知识点一、平行四边形与全等综合 1.已知如图，四边形中，，于点，，．点为边上一点，以，为边作平行四边形，则最小值是            ． 2.如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，．求证：． 3.如图，平行四边形中，于点，，在上，交于点，连接，． (1)若， ，求的长度． (2)求证： ． 知识点二、矩形与全等综合 4.矩形中，、，为中点，分别以、为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，连接、，则的长度为（   ） A. B. C. D. 5.在矩形中，为边上一点，，将沿翻折得到，的延长线交边于点，过点作交于点，连接，分别交，于点，．现有以下结论：①连接，则垂直平分；②四边形是菱形；③；④若，则；其中正确的结论有（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 6.如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有            ． 知识点三、菱形与全等综合 7.如图，菱形中，在边上，在射线上，与交于点，，其中，，，则的长度为（   ） A. B. C. D. 8.如图，是菱形的边的中点，与相交于点，于点，已知，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（   ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 9.如图，菱形中，，，点是线段上一点（不与，重合），作交于点，且，则周长的最小值是            ． 知识点四、正方形与全等综合 10.如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（   ） A. B. C. D. 11.如图，在正方形中，点，分别在，上，，则图中与相等的角的个数是（   ） A. B. C. D. 12.如图，正方形中，是边上的一点，是延长线上一点，且，平分交于，若，，则            ． 答案与解析 1. 解析: 在平行四边形中，设对角线与相交于点，则是的中点， 过点作，交的延长线于， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， 在与中，， ∴≌， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，的长最小，即为． 2.证明见解析． 解析: 在平行四边形中， ，，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴， ∴， ∴． 3.(1)． 解析: ∵， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． (2)证明见解析． 解析: 如图， 延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴ , ∵ ， ∴ ． 4.C 解析: ∵，是的中点， ∴． ∵， ∴由作图可知：，． 在和中． ∴≌． ∴． ∵， ∴，． ∵，，， ∴． ． ∴． ∴． 故选：． 5.C 解析: 连接，将沿翻折得到， ∴垂直平分，故①正确； 过点作于点， ∴易知四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，即，故③正确； ∵，， ∴，四边形是平行四边形， 由题意可知：， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形是菱形；故②正确； 由于，可设，， 由可知：，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误． 故选：． 6.①②③ 解析: ∵四边形是矩形， ∴． ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴≌， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， （对顶角相等）， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，，故③正确； ∵，， ∴不是等边三角形， ∴， ∴即，故④错误； 综上所述，结论正确的是①②③． 7.D 解析: 如图，作于，于，交的延长线于． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∵，，， ∴≌， ∴， ∴， ∵， ∴, 在中， ∵，， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选． 8.A 解析: 连接交于点，如图． 四边形为菱形， ，，，，， ，且， ， ，故正确； ，， ， 是中点， ， ，且，， ≌， ， ，故正确； ，，， ≌， ， ，故正确； 且， ， 且， ≌， ， ， 故错误． 故选：． 9. 解析: 连接． ∵菱形，， ∴与是等边三角边， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长， ∴等边三角形的边长最小时，的周长最小， 当时，最小为． ∴的周长最小值为：． 10.B 解析: 连接， 由旋转性质可知≌， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∴， 在中，， ∴ 解得， ∴． 故选． 11.C 解析: 证明：∵四边形是正方形， ∴，，，， 在和中