第22期 阶段性核心素养测评(四)-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版）

书 利用法向量处理立体几何问题，只需通过规范准确 的运算即可，回避了传统方法中的复杂推理，为立体几 何问题的求解打开了一扇方便之门．运用这种方法的关 键是构建合适的空间直角坐标系，将空间图形关系转化 为代数关系，从而缩短了思维的过程，为解题提供了强 有力的帮助．下面举例说明． 一、利用法向量求线面角 例１在棱长为１的正方体 ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，求 Ａ１Ｂ１与平面 Ａ１Ｃ１Ｂ 所成角的正弦值． 解析：建立如图 １所示的空间直 角坐标系 Ｄｘｙｚ，则 Ａ１（１，０，１），Ｂ１（１， １，１），Ｃ１（０，１，１），Ｂ（１，１，０），于是Ａ１ → Ｂ ＝（０，１，－１），Ａ１ → Ｃ１ ＝（－１，１，０），Ａ１→ Ｂ１ ＝（０，１，０）． 设平面Ａ１Ｃ１Ｂ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则 ｎ⊥Ａ１ → Ｂ， ｎ⊥Ａ１ → Ｃ{ １ ｎ·Ａ１ → Ｂ＝０， ｎ·Ａ１ → Ｃ１ ＝ { ０ ｙ－ｚ＝０，－ｘ＋ｙ＝{ ０ ｙ＝ｚ，{ｙ＝ｘ．取ｙ＝１，得ｎ＝（１，１，１）． 设直线Ａ１Ｂ１与平面Ａ１Ｃ１Ｂ所成的角为θ， 则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈ｎ，Ａ１ → Ｂ１〉｜＝ ｜ｎ·Ａ１ → Ｂ１｜ ｜ｎ｜｜Ａ１ → Ｂ１｜ ＝ ｜０＋１＋０｜ 槡３×１ ＝槡３３， 即直线Ａ１Ｂ１与平面Ａ１Ｃ１Ｂ所成角的正弦值为槡 ３ ３． 二、利用法向量求二面角 例２在四棱锥Ｖ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是正方形， 侧面ＶＡＤ是正三角形，平面ＶＡＤ⊥底面 ＡＢＣＤ．求平面 ＶＡＤ与平面ＶＤＢ所成的二面角的余弦值． 解析：取ＡＤ的中点Ｏ，则ＶＯ⊥ 底面ＡＢＣＤ．建立如图２所示的空间 直角坐标系Ｏｘｙｚ． 设正方形ＡＢＣＤ的边长为１，则 Ａ １ ２，０，( )０，Ｂ １２，１，( )０， (Ｄ －１２，０，)０， Ｖ０，０，槡３( )２ ． 可知 →ＡＢ＝（０，１，０）是平面ＶＡＤ的法向量． 设ｎ＝（１，ｙ，ｚ）是平面ＶＤＢ的法向量，则 ｎ·→ＶＢ＝０， ｎ·→ＢＤ＝{ ０ （１，ｙ，ｚ）· １ ２，１，－ 槡３( )２ ＝０， （１，ｙ，ｚ）·（－１，－１，０）＝ { ０  ｙ＝－１， ｚ＝－槡３{ ３ｎ＝ １，－１，－槡３( )３ ． 所以ｃｏｓ〈→ＡＢ，ｎ〉＝０－１＋０ １×槡２１３ ＝－槡２１７ ． 又由题意知，平面ＶＡＤ与平面ＶＤＢ所成的二面角为 锐角，所以所求二面角的余弦值为槡 ２１ ７ ． 三、利用法向量证面面垂直 例３如图３，在棱长为１的正方体ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 中，ＡＰ＝ＢＱ＝ｂ（０＜ｂ＜１），截面ＰＱＥＦ∥Ａ′Ｄ，截面 ＰＱＧＨ∥ＡＤ′．求证：平面ＰＱＥＦ⊥平面ＰＱＧＨ． 证明：以 Ｄ为原点，射线 ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ′分别为 ｘ，ｙ，ｚ 轴的正半轴建立如图４所示的空间直角坐标系Ｄｘｙｚ． 由题意得ＤＦ＝１－ｂ， 则有Ｄ（０，０，０），Ａ（１，０，０），Ａ′（１，０，１），Ｄ′（０，０，１）， Ｐ（１，０，ｂ），Ｑ（１，１，ｂ），Ｅ（１－ｂ，１，０），Ｆ（１－ｂ，０，０），Ｇ（ｂ，１，１）， Ｈ（ｂ，０，１）． 于是 →ＰＱ＝（０，１，０），→ＰＦ＝（－ｂ，０，－ｂ），→ＰＨ＝（ｂ－ １，０，１－ｂ），→ＡＤ′＝（－１，０，１），→Ａ′Ｄ＝（－１，０，－１）． 因为 →ＡＤ′·→ＰＱ＝０，→ＡＤ′·→ＰＦ＝０， 所以 →ＡＤ′是平面ＰＱＥＦ的法向量． 因为 →Ａ′Ｄ·→ＰＱ＝０，→Ａ′Ｄ·→ＰＨ＝０， 所以 →Ａ′Ｄ是平面ＰＱＧＨ的法向量． 因为 →ＡＤ′· →Ａ′Ｄ＝０，所以 →ＡＤ′⊥ →Ａ′Ｄ， 即平面ＰＱＥＦ⊥平面ＰＱＧＨ． 书 圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个重点，它 涉及面广、综合性强，求解这类问题的基本策略是：“大 处着眼，小处着手”，从整体上把握问题给出的综合信 息，并且恰当的运用待定系数法、相关点法、定义法等基 本方法．本文举例说明如下． 例１如右图，过点Ｃ（０，１）的 椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的 离心率为槡 ３ ２，椭圆与 ｘ轴交于两 点Ａ（ａ，０），Ｂ（－ａ，０），过点 Ｃ的 直线ｌ与椭圆交于另一点Ｄ，并与ｘ轴交于点Ｐ，直线ＡＣ 与直线ＢＤ交于点Ｑ． （１）当直线ｌ过椭圆右焦点时，求线段ＣＤ的长； （２）当点Ｐ异于点Ｂ时，求证：→ＯＰ·→ＯＱ为定值． （１）解：由题意知ｂ＝１，ｃａ ＝ 槡３ ２，解得ａ＝２， 所以椭圆的方程为 ｘ２ ４＋ｙ ２ ＝１． 椭圆的右焦点为（槡３，０），此时直线ｌ的方程为 ｙ＝ －槡３３ｘ＋１，代入椭圆方程得７ｘ ２－ 槡８３ｘ＝０，解得ｘ１ ＝ ０，ｘ２ ＝ 槡 ８３ ７，代入直线ｌ的方程得ｙ１ ＝１，ｙ２ ＝－ １ ７， 所以点Ｄ的坐标为 槡８３ ７，－( )１７ ，