第20期 等比数列-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版）

书 专项小练一 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．１３；　５．４７． ６．（１）证 明：因 为 ｂｎ ＝ ａｎ ｎ＋１ ＝ ２ｎ２＋５ｎ＋３ ｎ＋１ ＝ （ｎ＋１）（２ｎ＋３） ｎ＋１ ＝２ｎ＋３，所以ｂｎ＋１－ｂｎ＝［２（ｎ＋１）＋３］－ （２ｎ＋３）＝２．所以数列｛ｂｎ｝是等差数列． （２）解：ａ２ ＝２×２２＋５×２＋３＝２１， 由２ｎ＋３＝２１得ｎ＝９．所以ａ２是数列｛ｂｎ｝中的第９项． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ．　４．３；　５．６． ６．解：由 ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ， Ｓｎ＝ｎａ１＋ ｎ（ｎ－１） ２ ｄ { ，得 ａ１＋２（ｎ－１）＝１１，ｎａ１＋ｎ（ｎ－１）２ ×２＝３５{ ， 解方程组得 ｎ＝５， ａ１ ＝３ { ，或 ｎ＝７，ａ１ ＝－１{ ． Ａ组 一、单项选择题　１～４　ＣＣＢＣ　５～８　ＢＢＣＢ 二、填空题　９．２４；　１０．８１． 三、解答题 １１．解：（１）设｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ， 由ａ５ ＝９，ａ１＋ａ７ ＝１４，得 ａ１＋４ｄ＝９， ２ａ１＋６ｄ＝１４ { ， 解得ａ１ ＝１，ｄ＝２， 所以ａｎ ＝２ｎ－１． （２）由ａｎ ＝２ｎ－１，得 Ｓｎ ＝１＋３＋５＋… ＋（２ｎ－１） ＝（１＋２ｎ－１）ｎ２ ＝ｎ ２． １２．解：（１）当ｎ≥２时，ａｎ ＝Ｓｎ－ Ｓｎ－１ ＝２ｎ－１， 当ｎ＝１时，ａ１ ＝Ｓ１ ＝２－１＝１， 满足ａｎ ＝２ｎ－１， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为 ａｎ ＝ ２ｎ－１（ｎ∈Ｎ＋）． （２）由（１）得ｂｎ ＝ｌｏｇ４ａｎ＋１＝ ｎ＋１ ２ ， 则ｂｎ＋１－ｂｎ ＝ ｎ＋２ ２ － ｎ＋１ ２ ＝ １ ２， 所以数列｛ｂｎ｝是首项为１，公差ｄ＝ １ ２的等差数列， 所以Ｔｎ ＝ｎｂ１＋ ｎ（ｎ－１） ２ ｄ＝ ｎ２＋３ｎ ４ ． １３．（１）解：因为ａ２ｎ＋２ａｎ＝４Ｓｎ－１，ａ２ｎ＋１＋２ａｎ＋１＝４Ｓｎ＋１－１， 两式作差得（ａｎ＋１＋ａｎ）（ａｎ＋１－ａｎ－２）＝０， 因为ａｎ ＞０，所以ａｎ＋１－ａｎ ＝２，所以｛ａｎ｝成等差数列． 又当ｎ＝１时，ａ２１＋２ａ１ ＝４ａ１－１，所以ａ１ ＝１， 所以ａｎ ＝２ｎ－１． （２）证明：由ａｎ ＝２ｎ－１可知 ｂｎ ＝ １ ａｎａｎ＋１ ＝ １ （２ｎ－１）（２ｎ＋１）＝ (１２ １２ｎ－１－ １２ｎ＋ )１ ， 则Ｔｎ ＝ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ＝ (１２ １－１３ ＋１３ －１５ ＋… ＋ １２ｎ－１－ １ ２ｎ＋ )１ ＝ (１２ １－ １２ｎ＋ )１ ＜ １２，故Ｔｎ ＜ １２． Ｂ组 一、多项选择题　１．ＡＤ；　２．ＢＣ；　３．ＡＣＤ；　４．ＡＤ． 二、填空题　５．３６０；　６．（－４，１１］． 三、解答题 ７．解：（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 则有 ａ１＋ｄ＝５， ａ１＋４ｄ＝１４ { ，解得 ａ１ ＝２，ｄ＝３{ ， 所以ａｎ ＝２＋３（ｎ－１）＝３ｎ－１， 所以ｂｎ ＝ａ２ｎ ＝３×２ｎ－１＝６ｎ－１． 所以数列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的通项公式为ａｎ＝３ｎ－１，ｂｎ＝６ｎ－１． （２）因为ｂｎ ＝ａ２ｎ，所以ｂ２ ＝ａ４，ｂ６ ＝ａ１２， 所以ｂ２和ｂ６的等差中项即为ａ４和ａ１２的等差中项， 因为ａ８ ＝ ａ４＋ａ１２ ２ ，所以ｎ＝８． ８．解：（１）设等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ． 因为ａ３ ＝７，ａ５＋ａ７ ＝２６， 所以 ａ１＋２ｄ＝７， ２ａ１＋１０ｄ＝２６ { ，解得 ａ１ ＝３，ｄ＝２{ ． 所以ａｎ ＝３＋２（ｎ－１）＝２ｎ＋１， Ｓｎ ＝３ｎ＋ ｎ（ｎ－１） ２ ×２＝ｎ ２＋２ｎ． （２）由（１）知ａｎ ＝２ｎ＋１， 所以ｂｎ ＝ １ ａ２ｎ－１ ＝ １ （２ｎ＋１）２－１ ＝ １４ × １ ｎ（ｎ＋１）＝ １ ４ × １ ｎ － １ ｎ＋( )１． 所以Ｔｎ ＝ １ ４ (× １－１２ ＋１２ －１３ ＋… ＋１ｎ－ １ｎ＋ )１ ＝ １４ × １－ １ ｎ＋( )１ ＝ ｎ ４（ｎ＋１）， 即数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ ＝ ｎ ４（ｎ＋１）． ９．（１）证明：由Ｓｎ ＝ １ ８（ａｎ＋２） ２， 则Ｓｎ－１ ＝ １ ８（ａｎ－１＋２） ２（ｎ≥２）． 当ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝ １ ８（ａｎ＋２） ２－１８（ａｎ－１＋２） ２， 整理得（ａｎ＋ａｎ－１）（ａｎ－ａｎ－１－４）＝０． 因为数列｛ａｎ｝为正整数数列， 所以ａｎ－ａｎ－１ ＝４，即数列｛ａｎ｝为等差数列． （２）解：因为Ｓ１＝ １ ８（ａ１＋２） ２，所以ａ１＝ １ ８（ａ１＋２） ２． 解得ａ１ ＝２，所以ａｎ ＝２＋４（ｎ－１）＝４ｎ－２， 所以ｂｎ ＝ １ ２ａｎ－３０＝ １ ２（４ｎ－２）－３０＝２ｎ－３１． 令ｂｎ ＜０得ｎ＜ ３１ ２， 设数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和