专题——相似三角形模型 个性化同步分层作业 2021—2022学年人教版数学九年级下册

专题——相似三角形模型 知识点一、相似“A”字型/“8”字型 1.如图，的中线，相交于点，若的面积为，则的面积为（   ） A. B. C. D. 2.如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为（）当与相似时，运动时间的值为（   ） A. B. C.或 D.或 3.如图，已知、、都与垂直，垂足分别是、、，且，，那么            ． 4.如图，为平行四边形的边延长线上的一点，且，的面积为，则平行四边形的面积为（   ） A. B. C. D. 5.如图所示，个直角边长为的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设的面积为，的面积为，，的面积为，则            ，            （用含的式子表示） 知识点二、射影定理（双垂直） 6.如图所示，为斜边上的高，，如果，那么等于（   ） A. B. C. D. 7.[问题情境] 如图，中，，，我们可以利用与相似，证明，这个结论我们称之为射影定理． [结论运用] 如图，正方形的边长为，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． (1)试利用射影定理证明． (2)若，求的长． 知识点三、一线三等角相似 8.如图，在面积为的正方形中，有一个小正方形，其中、、分别在、、上．若，则小正方形的周长为（   ） A. B. C. D. 9.如图，在等边三角形中，点为边上的任意一点，且，交于点，设线段的长度为，的长度为，若与的函数关系的大致图象如图，则等边三角形的面积为            ． 知识点四、相似模型的构造和应用 10.如图，已知中，分为两部分，为的中点，的延长线交于，求． 11.我们曾经历过探索梯形中位线性质的过程，在得到梯形中位线性质的同时也积累了许多经验．请利用这些经验试着解决以下问题：如图，在梯形中，，，，若，，则            ． 12.如图，梯形的对角线相交于，，，及梯形的面积分别为，，，．对于以下三个结论： ①已知，就可求出； ②已知，就可求出； ③已知，就可求出． 正确的结论有哪几个？ 答案与解析 1.A 解析: ∵，是的中线，∴点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴的面积为． 故选：． 2.D 解析: ∵运动时间为，则，， ∵， ∴当与相似时，有或， 当时，则有， 即，解得； 当，则有， 即，解得． 综上可知，当点、同时运动秒或秒后，与相似． 故选：． 3. 解析: ∵、、都与垂直， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4.A 解析: ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5.， 解析: ∵个直角边长为的等腰直角三角形有一条边在同一直线上， ∴， 连接、、、点，显然它们共线且平行于， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且边长， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 6.C 解析: ∵为斜边上的高， ∴， ∵， ∴面积的比是， 即， ∴． 故选． 7.(1)证明见解析． 解析: ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 而， ∴． (2)． 解析: ∵，而， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 8.C 解析: ∵四边形是正方形，面积为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴正方形的周长为． 9. 解析: 由题可得，，， ， ， ， 设，则， ， 当时，取得最大值， 即为中点时，长度的最大值为， 此时，， ， 等边三角形的边长为， 根据等边三角形的性质，可得． 故答案为：． 10.． 解析: 过作交于点， 由平行线分线段成比例知：， 设， ∴，， ∴． 11. 解析: 如图，连接并延长交延长线于点 易知，． ∴， ∴， 则． ∵， ， ∴， ∴． 即． 12.①②③． 解析: ①延长至，使，则，∴， ∴ ； ②； ③； 因此，令， 则， 解得，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $