专题——相似三角形与函数结合 个性化同步分层作业 2021—2022学年人教版数学九年级下册

专题——相似三角形与函数结合 知识点一、相似三角形与一次函数 1.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点的坐标为． (1)求直线的解析式． (2)直线与轴交于点，若点是直线上一动点（不与点重合），当与相似时，求点的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与直线相交于点，动点从出发在轴上以每秒个单位长度的速度向匀速运动，点从出发在上以每秒个单位长度的速度，向匀速运动，运动时间为秒（） (1)直接写出点坐标及，长． (2)连接，若与相似，求的值． (3)连接，，若，直接写出点坐标． 知识点二、相似三角形和二次函数 3.如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及其对称轴方程． (2)连接、，试判断与是否相似？并说明理由． (3)为抛物线上之间的一点，为线段上的一点，若轴，求的最大值． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 4.如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，当点在直线下方时，求面积的最大值． (3)如图，直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标． 5.已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为，直线的图象与该二次函数的图象交于、两点，其中点坐标为，点在轴上．点为线段上的一个动点（点与点、不重合），过点且垂直于轴的直线与这个二次函数的图象交于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)设点的横坐标为，求线段的长（用含的代数式表示） (3)点为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点、、为顶点的三角形与相似，请写出所有符合条件的点的坐标，并任意选取一个写出求解过程． 6.抛物线（）过点和，点为轴正半轴上的一个动点，连接，在右侧作，且，点经过矩形的边所在的直线，设点横坐标为． (1)求抛物线解析式． (2)当点落在抛物线上时，求点的坐标． (3)若以、、为顶点的三角形与相似，请直接写出此时的值． 7.如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式． (2)过点且与轴平行的直线与直线、分别交于点、，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点三、相似三角形与反比例函数 8.在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接，已知，则（   ） A. B. C. D. 9.如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过的中点，且与交于点． (1)求反比例函数解析式和点坐标． (2)若是上一点，且以和为对应角的、相似，求点的坐标． 10.如图，反比例函数（，是常数）的图象经过点，点，其中，轴，垂足为，轴，垂足为，与的交点为． (1)写出反比例函数解析式． (2)求证：． (3)若与的相似比为，求出点的坐标及所在直线的解析式． 答案与解析 1.(1) 解析: 设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得：． 故直线的解析式为：． (2)或． 解析: ∵直线与轴的交点为， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵与轴交于点， ∴， ∴， ∵与相似， ∴或， ∴或， ∴，，或， ∴或． 2.(1)，． 解析: 对于直线， 令，得到，∴， 令，则， ∴， 由，解得， ∴， ∴， ． (2)或． 解析: ①当时，， ∴， ∴． ②当时，， ∴， ∴， 综上所述，的值为或时，与相似． (3)． 解析: 如图作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴时，， ∴． 3.(1)，． 解析: ∵点在抛物线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 对称轴为直线． (2)，证明见解析． 解析: 令，则， 即， 解得，， ∴点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为， ∴，，， ∵，， ∴． (3)． 解析: 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ， ， ， ∴当时，的最大值是． (4)存在，的坐标为或或，证明见解析． 解析: 由勾股定理得，， 过点作对称轴于，则， ①时，， 点在点的上方时，点到轴的距离为， 此时点， 点在点的下方时，点到轴的距离为， 此时点， ②点为对称轴与轴的交点时，， ， ∴， 此时，点， ③当时，∵，点到对称轴的距离为，∵，∴这种情形不存在． 综上所述，点的坐标为或或时，为等腰三角形时． 4.(1)． 解析: 设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入得， 故抛物线的解析式为． (2)． 解析: 设直线与轴交于点，点， 则，