6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理题型讲义-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

选修三6.1分类加法与分步乘法计数原理题型整理 1、 知识储备 2、 题型专练 1、分类加法计数原理的应用 2、分步乘法计数原理的应用 3、两个计数原理的综合应用 4、有限制条件的计数问题 5、涂色问题 三、课后加练 1、 知识储备 二、题型分类 题型一：分类加法计数原理的应用 1.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（ ） A．60 B．45 C．30 D．12 分类加法计数原理的应用解题步骤： 1.审题：搞清完成的一件事是什么事，这是关键，怎样才算完成这件事； 2. 分类：看完成这件事是否分类，确定分类标准，进而分类； 3. 计数：算出每类的方法数； 4. 求和：应用分类加法计数原理求和。 2.从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个 A．98 B．56 C．84 D．49 3.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ） A．16种 B．12种 C．9种 D．6种 题型二：分步乘法计数原理的应用 1.将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（ ） A．12种 B．9种 C．8种 D．6种 分步乘法计数原理的应用解题步骤： 1.审题：搞清完成的一件事是什么事，这是关键，怎样才算完成这件事； 2.分类：看完成这件事是否分步，确定分步标准； 3.计数：算出每步的方法数； 4.求和：应用分步乘法计数原理求和。 2.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（　　） A．10种 B．种 C．种 D．种 3.如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有（ ） A．10 B．13 C．15 D．25 题型三：两个计数原理的综合应用 1.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ） A．21种 B．315种 C．153种 D．143种 两个计数原理应用解题步骤： 1.一定要综合确定两个特征，结合特征确定是分类还是分步； 2.分类与分步：要做的不重复、不遗漏； 分类时，每类之间是互斥的，总数要完整保证不遗漏； 分步时，按事件发生的连贯性进行分析，必须步与步之间不干扰，并确保连续性 2.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 3.用这六个数字，完成下面两个小题． （1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数； （2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？ 题型四：有限制条件的计数问题 1.将数字1，1，2，2，3，3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 有限制条件的满足，特殊元素优先考虑的原则，优先确定特殊情况，进而再分析其他； 特别地：数字问题①零不能在首位；②一般先考虑特殊位置，进而考虑特殊元素③当分类较多时，可用间接法。 2.（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ） A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 3.有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加. （1）若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？ （2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ （3）若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？ 题型五：涂色问题 1.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A．150种 B．180种 C．240种 D．120种 涂色问题解题步骤： 1、 以区域为主分步计数； 2、 以颜色为主分类讨论； 3、 对于不相邻的区域常分为同色与不同色（重要）； 4、 若空间问题可考虑平面化。 2.现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种. 3.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定