4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2等差数列的前n项和公式 第二课时 一 二 三 学习目标 掌握等差数列前n项和的应用 能较熟练应用等差数列前n项和公式求和 学习目标 会求等差数列前n项和的最值 等差数列的前n项和公式: 形式1: 形式2: 复习回顾 (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). 等差数列通项公式： 在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二. 新知探究一：等差数列的前n项和公式的应用 例1 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位? 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an} ，设数列{an} 的前项和为。由题意可知， {an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项。 1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． 2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. 例题小结 1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元. 你认为哪种领奖方式获奖者受益更多? 课本P24 新知探究二：等差数列的前n项和的最值 例9 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 分析1 数项的和。 通项公式法求最值 解法1： 注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解. 新知探究二：等差数列的前n项和的最值 分析另一方面，等差数列的前n项和公式可写成， 所以当时， 可以看成二次函数， 当= 时函数值。如图，当 时， 关于的图像是一条开口向下 的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的, 的值。 前n项和公式法求最值 解法2： 例题小结 求等差数列的前n项和最值的两种常用方法 方法一：通项公式法求最值 情形1：当a1>0，d<0时， 数列前面有若干项为正, 此时所有非负项的和为Sn的最大值. 此时由an≥0且an+1≤0求n的值 情形2: 当a1<0，d>0时， 数列前面有若干项为负, 此时所有非正项的和为Sn的最小值. 此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值 方法二：前n项和公式法求最值 例题小结 思考：我们发现，等差数列{an}的前n项和公式 可化简为 ， 这个函数式与函数 有什么关系？ 当d=0 时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点. 当d≠0 时， 是二次函数 当x = n时的函数值. 几何意义：前n项和公式Sn的图象是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点. 常数列 例题小结 情形1：当a1>0，d<0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点. Sn n O 1 由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值. 情形2:当a1<0，d>0 时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上孤立的点. Sn n O 1 由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值. 练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 7 n 11 3 Sn 巩固练习 练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－2<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 得 ∴a7+a8=0 练习