第14讲 列联表与独立性检验-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第14讲 列联表与独立性检验 【题型归纳目录】 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 题型三：有关“相关的检验” 题型四：有关“无关的检验” 题型五：独立性检验的综合应用 【知识点梳理】 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 4、临界值 χ2 统计量也可以用来作相关性的度量．χ2 越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关 χ2＝.忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准． 5、独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(test of independence)． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； (3)根据检验规则得出推断结论； (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【典型例题】 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 例1．（2022·全国·高二单元测试）假设有两个分类变量与的列联表如下表： 对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（       ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解析】 对于两个分类变量与而言，的值越大，说明与有关系的可能性最大， 对于A选项，， 对于B选项，， 对于C选项，， 对于D选项，， 显然D中最大， 故选：D. 例2．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习（理））在一次独立性检验中，得出列联表如图：且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是（       ） A 合计 B 200 800 1000 180 a 180+a 合计 380 800+a 1180+a A．200 B．720 C．100 D．180 【答案】B 【解析】 解：因为两个分类变量A和B没有任何关系， 所以 ， 代入验证可知 . 故选：B. 题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 例3．（2022·全国·高二课时练习）下面的等高条形图可以说明的问题是（       ） A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握 【答案】D 【解析】 由等高条形图可知“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的频率不同， 所以“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握，所以选项D正确， 故选：D. 例4．（2022·全国·高三专题练习）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 观察等高