第13讲 一元线性回归模型及其应用-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第13讲 一元线性回归模型及其应用 【题型归纳目录】 题型一：求回归直线方程 题型二：利用回归直线方程对总体进行估计 题型三：线性回归分析 题型四：残差分析与相关指数的应用 题型五：非线性回归分析 【知识点梳理】 1、一元线性回归模型 我们称为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的末知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差． 2、线性回归方程与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计（leastsquaresestimate）， 其中 3、残差的概念 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 4、刻画回归效果的方式 （1）残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． （2）残差平方和法 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． （3）利用刻画回归效果 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力．，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差． 【典型例题】 题型一：求回归直线方程 例1．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二阶段练习（文））已知变量和正相关，则由如下表所示的观测数据算得的线性回归方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题得 ， 所以样本中心点的坐标为（0,0），代入选项检验得选B. 故答案为B 【点睛】 (1)本题主要考查回归方程直线的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心.这是回归方程的一个重要考点,要理解掌握并灵活运用. 例2．（2022·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高二期中）随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限与所支出的总费用（万元）有如表的数据资料： 使用年限 2 3 4 5 6 总费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)       在给出的坐标系中作出散点图； （2）求线性回归方程中的、； （3）估计使用年限为年时，车的使用总费用是多少？ （最小二乘法求线性回归方程系数公式， .） 【解析】 （1）散点图如图，由图知与间有线性相关关系． （2）∵，，，， ∴； ． （3）线性回归直线方程是， 当（年）时，（万元）． 即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元． 题型二：利用回归直线方程对总体进行估计 例3．（2022·江西抚州·高二期末（理））保护生态环境，提倡环保出行，节约资源和保护环境，某地区从2016年开始大力提倡新能源汽车，每年抽样1000汽车调查，得到新能源汽车y辆与年份代码x年的数据如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码第x年 1 2 3 4 5 新能源汽车y辆 30 50 70 100 110 (1)建立y关于x的线性回归方程； (2)假设该地区2022年共有30万辆汽车，用样本估计总体来预测该地区2022年有多少新能源汽车． 参考公式：回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【解析】(1)，， ，因为，所以，所以 (2)预测该地区2022年抽样1000汽车调查中新能源汽车数，当时，，该地区2022年共有30万辆汽车，所以新能源汽车. 例4．（2022·陕西·西安中学高二期中（理））偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差（实际成绩平均分偏差）.在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差（单位：分）与物理偏差（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差 20 15 13 3 2 -5 -