4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2等差数列的前n项和公式 第一课时 一 二 三 学习目标 理解公式的推导方法 能较熟练应用等差数列前n项和公式求和 学习目标 掌握等差数列前n项和公式 复习回顾 1. 等差数列定义： 2. 等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数) (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). an－an－1 ＝d (n≥2) 或 an+1－an ＝d. 3. 几种计算公差d的方法: 4. 等差中项 m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . 5. 等差数列的性质 A= 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1+2+3+---+99+100=? 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面 的方法迅速算出了正确答案： 情境导入 1+2+3+…+50+51+…+98+99+100= 5050 50对 101 101 101 101 新知探究一：等差数列的前n项和公式 问题1：计算 新知探究一：等差数列的前n项和公式 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ① 前100项的和的问题. 思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗? 对于数列1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ，若设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系. 这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算. 动脑思考 探究新知 配对 问题2： 偶数项 奇数项 问题1： 问题3： 思路2（拿出中间项，再首尾配对） 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51 思路1（拿出末项，再首尾配对）原式=(1+2+3+… + 100)+101 思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+… + 100+102)-102 思路4（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+… + 100+101 将上述方法推广到一般，可以得到: 于是有 当n是偶数时，有 当n是奇数时，有 ∴对任意正整数n，都有 问题3： 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 新知探究一：等差数列的前n项和公式 思考 我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? 这种求和方法叫倒序求和法 性质：如果数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*， 且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at 左右两边分别相加 n个 ① ② 新知探究一：等差数列的前n项和公式 问题4 那么，对于一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？ 这就是等差数列前n项和的公式！ 等差数列前n项和公式 请记住我 项数 首项 末项 概念生成 等差数列的通项公式 等差数列前n项和公式 首项 项数 公差 概念生成 等差数列{an}的相关公式及性质： 1.等差数列{an}的通项公式： 2.等差数列{an}的前n项和公式： 3.等差数列{an}的重要性质： 在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二. 例6 已知数列{an}是等差数列. 例7 已知一个等 差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 课本P22 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 课本P22 2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的 和是－100 ? 3.