第4讲 平面向量的基本定理及坐标表示-2022-2023学年高一数学同步题型方法总结精品讲义（人教A版2019必修第二册）

教师版 最多的愁 ———问君能有几多愁，恰似一江春水向东流。（《虞美人·春花秋月何时了》南唐·李煜） 平面向量专题 第4讲 平面向量的基本定理及坐标表示 思维导图————知识梳理 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 题型一 平面向量基本定理的理解 思维导图——方法梳理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 3.对基底的理解 （1）基底的两个主要特征 ①基底是两个不共线向量； ②基底的选择是不唯一的． 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件． （2）零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.设是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C【详解】对A，B，D，令，，均无法找到一个实数使得等式成立，故均不共线，可作为基底； 对C，，所以两个向量共线，所以不能当成基底，故选：C. 例2.设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C解：，是平面内不共线的两个向量，对A，与不共线，故可以作为基底，故A错误；对B，与不共线，故可以作为基底，故B错误；对C，，故与共线，不可以作为基底，故C正确； 例3.如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D【详解】对于A：设，则，所以无解； 对于B：设，则，所以无解；对于C：设，则，所以无解； 对于D：设，则，解得，所以此两向量是共线向量； 故D中向量能作为平面内所有向量的一组基底，故选：D． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C解：对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意； 对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意； 对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意； 对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意，故选：C 2.设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 如下图所示： ①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线． 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．故选：B. 3.给出以下说法，其中不正确的是（ ） A．若，则； B．若，则存在实数，使； C．若，是非零向量，，那么； D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底. 【答案】BCD【详解】 A：向量的数乘运算的几何意义，正确； B：若，，有，但不存在实数，错误； C：，为相反向量，则，此时，错误； D：平面向量的基本定理，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误.故选：BCD 4.下列向量组中，能作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】对于A，因，则有，与不能作为基底； 对于B，因，，则有与不共线，与可作基底； 对于C，因，则有，与不能作为基底； 对于D，因，则有，与不能作为基底.故选：B 5.下列各组向量中，可以作为基底的一组是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D【解析】选项A：因为，所以向量，共线，故A错误， 选项B：因为，所以向量，共线，故B错误， 选项C：因为，所以向量，共线，故C错误， 选项D：因为，所以向量，不共线，故D正确，故选：D. 考点二 用基底表示向量 思维导图——方法梳理 用基底表示向量的基本方法有两种： （一）运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止； （二）通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解. （1）平面向量基本定理唯一性的应用： 设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 （2）重要结论设{e1，e2}是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ②当时，；