5.1.1变化率问题（第一课时）（课件+教案）-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精品备课（人教A版2019选择性必修第二册）

导数的概念及其意义 导数的概念及其意义 变化率问题 1 学习目标 经历由平均速度“逼近”瞬时速度变化的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，体会极限思想；（数学抽象） 观看视频，谈一谈自己的收获 通过高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法，会求解瞬时速度的相关问题（数学抽象、数学运算） 学生活动 计算平均速度，小组讨论，平均速度为0是否静止 计算瞬时速度拍照发钉钉群 2 01 前言 高斯 1777－1855 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。 02 新知探究 高斯 1777－1855 问题1 高台跳水运动员的速度，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 <m></m> （单位： <m></m> ）与起跳后的时间 <m></m> （单位： <m></m> ）存在函数关系 <m></m> .计算运动员在时间段① <m></m> ，② <m></m> </m> ③<m>内的平均速度 <m> 02 新知探究 问题1 高台跳水运动员的速度，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 <m></m> （单位： <m></m> ）与起跳后的时间 <m></m> （单位： <m></m> ）存在函数关系 <m></m> .计算运动员在时间段① <m></m> ，② <m></m> </m> ③<m>内的平均速度 <m> （1）在 这段时间里， ； （2）在 这段时间里， ； （3）在 这段时间里， . 6 新知生成 平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 ，在 到 这段时间内，则物体运动的平均速度为 . 平均变化率 对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx＝__________. (2)函数值的改变量：Δy＝__________． (3)平均变化率＝ ＝ 02 新知探究 计算<m> 这段时间里的平均速度，你发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 追问1 ? 运动员在这段时间内的平均速度为0，但显然，除了在最高点的一瞬间外，运动员一直处于运动状态，每个时刻的瞬时速度都不为0。 解 答 运动员的平均速度，只关注了这个时间段的整体情况，无法刻画中间时刻的运动过程，因此并不能准确刻画运动员的运动状态。 02 新知探究 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度？ 追问2 ? 解 答 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 02 新知探究 高斯 1777－1855 问题2 瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1时的瞬时速度吗？ 02 新知探究 你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？ 追问1 ? 通过前面计算平均速度的值，尽管我们发现“随着时间间隔的不断缩小，平均速度越来越接近于常数-5”，但是这种计算是有限的，不能判定平均速度是否永远具有这种特征，所以需要从更加理性的角度加以说明。 解 答 02 新知探究 你能推导出任意时刻对应的瞬时速度的表达式吗？ 追问2 ? 解 答 所以v（t）= 12 方法总结 求运动物体瞬时速度的三个步骤 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 ，则求物体在 时刻的瞬时速度的步骤如下： （1）写出时间改变量 ，位移改变量 . （2）求平均速度： . （3）求瞬时速度 当 时， （常数）. 新知生成 1.在匀速直线运动中，比值 是恒定的.在非匀速直线运动中，比值 不是恒定的.要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度.注意结合物理学中的 . 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.瞬时速度可表示为 . 14 03 例题讲解 例 例1： 一质点的运动方程为 ，其中 表示位移（单位： ）， 表示时间（单位： ）. （1）求质点在 这段时间内的平均速度； （2）求质点在 时的瞬时速度. 03 例题讲解 （1）质点在 这段时间内的平均速度为 . （2）由（1）知 . 当 趋近于0时， 趋近于 ， 所以质点在 时的瞬时速度为 . 解 答 03 例题讲解 例 例2： 一做直线运动的物体，其位移 与时间 的关系是 ，求此物体在 时的瞬时速度. 取一时间段 ， ， ， ， 所以当 时，物体的瞬时速