5.1.1变化率问题（第二课时）（课件+教案）-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精品备课（人教A版2019选择性必修第二册）

变化率问题第二课时 1.课时教学内容 抛物线的切线和斜率 2.课时学习目标 (1) 经历用割线位置“逼近”切线位置的过程，认识切线位置的本质是割线位置的极限，继续体会极限思想。（数学抽象） (2) 通过求抛物线再具体点的切线的斜率和方程，体会切线的一般定义及求切线斜率的一般方法。（数学运算、直观想象） 3.教学重点与难点 重点∶理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法。 难点∶理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念。 4.教学过程设计 环节一 课前小测 1、若一质点按规律 运动，则它在一小段时间 内的平均速度是( )。答案：B 2、一质点运动的方程为 ，若该质点在时间段 内相应的平均速度为 ，则该质点在 时的瞬时速度是______。 答案：-6 环节二 新知探究 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢 以抛物线为例进行研究 问题1：你认为应该如何定义抛物线在点处的切线 类比研究瞬时速度,为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近取一点考察抛物线的割线 的变化情况。 观察：割线的斜率的值，当无限趋近于0时，割线的斜率有什么变化趋势？ 从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线P无限趋近于点处的切线，这时，割线P的斜率无限趋近于点处的切线的斜率，因此，切线的斜率=2. 新知生成：曲线在某一点处的切线的定义 设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P0(x0,y0),及邻近一点P(x0+△x,y0+△y),过 P0,P两点作割线，当点P沿着曲线无限接近于点P0即△x→0时,如果割线P0P有一个极限位置P0 T, 那么直线P0T叫做曲线在点P0处的切线。 追问1：此处切线定义与以前的定义有何不同？ 圆的切线定义并不适用于一般的曲线，通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 问题2：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线在点处的切线T的斜率呢？ 从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线T的斜率与割线的斜率有内在的联系，记点P的坐标，于是割线的斜率 +2 新知生成：曲线在某一点处的切线的斜率 设 ， 是抛物线 上不同两点，则割线 的斜率 （其中 ），当点 无限趋近于点 时，我们可以用割线 的斜率 近似地表示点 处切线的斜率. 方法总结：求抛物线 在点 处的切线方程的步骤： （1）求出 点的坐标 ； （2）求出抛物线在点 处切线的斜率； （3）利用点斜式写出切线方程. 环节三 例题讲解 例1： 求抛物线 在点 处的切线方程 解答： ， 所以切线的斜率 . 则切线方程为 ，即 . 例2：如图已知曲线上一点 , 求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是，即 环节四 当堂检测 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． (　　) (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． (　　) (3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． (　　) (4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝ (　　) 答案： 2.已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为? 解析：∵Δy＝(1＋Δx)－－ ＝Δx＋1－＝Δx＋， ∴＝＝1＋， ∴斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2. 环节五 课堂小结 1.从知识角度，我们以抛物线为例，研究了函数图像的切线斜率问题。 2.从研究方法上看，我们类比上一节课的研究过程，仍然用无限逼近的方法，通过割线斜率求得了切线斜率。物体运动平均速度与瞬时速度 曲线某点处割线与切线的斜率 函数的平均变化率与瞬时变化率 环节五 课后作业 求函数在x＝2处的切线的斜率。 解： , 所以 【巩固练习】 1．已知，则等于(　　) A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0 答案　C 2．(多选)设f(x)＝t2x，若＝4，则t的值是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　AD 3．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________. 答案　5 4．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是________． 答案　2 5．若可导函数的图象过原点，且满足 ＝－1，则＝__________. 答案　－1 6．若函数f(x)＝ax2＋c，且＝2，求a的值． 解　∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(