第五单元 第21讲 矩形（精讲Word）- 2023中考数学系统总复习

第21讲 矩形 一.知识回顾 知识点1：矩形的性质 1.边：对边平行且相等； 2.角：四个角都是直角； 3.对角线：对角线相等且互相平分； 4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴.（对称轴为矩形对边中点所在的直线） 知识点2：矩形的判定 1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形； 2. 对角线相等的平行四边形是矩形； 3. 有三个角都是90°的四边形是矩形. 知识点3：四边形、平行四边形、矩形之间的关系 说明：矩形面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图） 二.真题分层与拓展 命题点点 矩形的相关证明与计算 例1.（2020毕节） 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB， ∵，， ∴AC= ∴BD=10cm， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴． 故选：D． 练习1.（2022铜仁） 如图，在矩形中，，则D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD=AB=6，并证明轴，同理可得轴，由此即可得到答案． 【详解】解：∵A（-3，2），B（3，2）， ∴AB=6，轴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=6，轴， 同理可得轴， ∵点C（3，-1）， ∴点D的坐标为（-3，-1）， 故选D． 练习2.（2021遵义）如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（　　） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先利用矩形的性质与勾股定理求解 再利用轴对称的性质求解，从而可得答案. 【详解】解： 矩形纸片ABCD， 由折叠可得： 同理： 故选： 练习2.（2020黔东南州） 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝_____． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90° ， ∵E为CD中点， ∴DE＝CD＝AB， ∴△ABP∽△EDP， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∵PQ⊥BC， ∴PQ∥CD， ∴△BPQ∽△DBC， ∴＝＝， ∵CD＝2， ∴PQ＝， 故答案为：． 三 课堂小测 1．（2022·陕西）在下列条件中，能够判定为矩形的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意．故选：D． 2.（2022·四川达州）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（       ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处， ,， ，， 设，则，， 在中， 即，解得，， ，，， ，，，， 在中，，．故选C． 3.．（2022·湖南邵阳）已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为_________． 【答案】48 【分析】如图，先根据勾股定理求出，再由求解即可． 【详解】解：在矩形ABCD中，，， ∴在中，(cm)， ∴． 故答案为：48． 4..（2020遵义） 如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△A'BM中，利用轴对称的性质与锐角三角函数求出∠BA′M=30°，再证明∠ABE=30°即可解决问题． 【详解】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN， ∴AB=2BM，∠A′MB=90°，MN∥BC． ∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上． ∴A′B=AB=2BM． 在Rt△A′MB中，∵∠A′MB=90°， ∴sin∠MA′B= ＝， ∴