第三单元 第11讲 二次函数的图像与性质（精讲Word）- 2023中考数学系统总复习

第11讲 二次函数的图像与性质 一 知识回顾 知识点1：二次函数的概念及表达式 1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点2：二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时， y最小值= 当x=–时， y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2–4ac b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点） b2–4ac>0 与x轴有两个交点 b2–4ac<0 与x轴没有交点 知识点3：抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．: 2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 3．注意 二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点4：二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 知识点5：二次函数的综合 1、函数存在性问题 解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 2、函数动点问题 （1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题． （2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案． （3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 二.真题分层与拓展 命题点1 二次函数的图像与性质 例1.．（2021贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是 　　（填“向上”或“向下”）． 【解答】解：由y＝x2得：a＞0， ∴二次函数图象开口向上． 故答案为：向上． 练习1.（2022黔东南州） 在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为（-1，-2）， 将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2）， 旋转后的抛物线为， 再向下平移5个单位，即． ∴新抛物线的顶点（1，-3） 故答案是：（1，-3）． 练习2.（2022·陕西）已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线， ∴对称轴，顶点坐标为， 当时，， 解得或， ∴抛物线与轴的两个交