6.3.1 平面向量基本定理-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.3.1平面向量基本定理 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.理解平面向量基本定理及其意义； 2.会用基底表示某一向量； 3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。 1.数学抽象：平面向量基本定理的意义； 2.逻辑推理：推导平面向量基本定理； 3.数学运算：用基底表示其它向量； 概念梳理 1.平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量. 那么对于这一平面内的任一向量 , 有且只有一对实数 , 使 。把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 2 .定的证明 (1) 存在性: 已知是同一平面内两个不共线的向量, 是该平面内的任一向量,则可用表示. (1) 如图(1), 当是这一平面内与都不共线的向量时, 如图(2)在平面内任取一点, 作 （1） （2） （3） (3)如图(3), 过点作平行于直线的直线, 与直线交于点; 过点作平行于直线的直线, 与直线交于点, 则 . 由与共线, 与共线可得, 存在实数, 使得 , 所以 , 也就是说, 与都不共线的向量都可以表示成的形式. (2) 当是与或共线的非零向量时, 由向量共线定理可知, 当与共线时, . 当与共线时, . (3) 当时, . 综上所述, 对于平面内的任一向量, 总有一对实数, 使. (2) 唯一性: 如果还可以表示成 的形式, 那么 . 可得 . 由此式可以推出 (假设 不全为0 , 不妨假设 , 则. 由此可得, 共线. 这与已知 不共线矛盾), 即 . 也就是说, 有且只有一对实数 , 使. 【概念辨析】 1. 基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一个基底. 2. 同一非零向量在不同基底下的分解是不同的. 3. 当基底给定后, 向量的分解式是唯一的, 基底给定时, 是被, 唯一确定的数值. 4. 与或 共线的情形 是同一平面内所有向量的一个基底, 则当 与共线时, ; 当与共线时, ;当 时, . 5. 由于零向量与任何向量都是共线的, 因此零向量不能作为基底中的向量. 回归教材 1. 如图, 是的三条中线, . 用表示 . (第 1 题) 【解析】 . 2. 如图, 平行四边形的两条对角线相交于点, 点 分别是的中点, 是的三等分点 . (1) 用表示; (2) 能由(1)得出的关系吗? (第 2 题) 【解析】(1) . . . (2) 由 (1) 得 , 3. 如图, 在中, , 点分别是的中点. 设. (1) 用 表示 . (2) 如果 有什么关系? 用向量方法证明你的结论. (第 3 题) 【解析】(1) . 点 分别是 的中点, 且 , (2) 与 垂直. 证明: , , , 即 与 垂直. 题型讲解 探究（一）对平面向量基本定理的理解 【典例1】设 是不共线的两个向量, 给出下列四组向量 : (1) 与 ; (2) 与 ; (3) 与 ; (4) 与 . 其中, 不能作为平面内所有向量的一个基底的是？并说明理由。 【解析】(1) 设 , 则 无解, 所以 与 不共线, 即与 能作为一个基底. (2)设 则 , 则 无解, 所以 与 不共线, 即 与 能作为一个基底. (3) 因为 , 所以 与 共线, 即 与 不能作为一个基底. (4) 设 , 则 , 则 无解, 所以 与 不共线, 即 与 能作为一个基底. 所以(3)不能作为基底 【方法总结】 1. 对基底的理解 两个向量能否作为一个基底, 关键是看这两个向量是否共线. 若共线,则不能作基底, 反之, 则可作基底. 2. 对平面向量基本定理的理解 (1) 在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和, 且这样的分解是唯一的, 同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的. (2) 对于固定基底而言, 平面内任一确定的向量的分解是唯一的. 【补充训练1】若使 是平面 内所有向量的一个基底,那么下列命题正确的是( ) A. 若实数 , 使 , 则 B. 空间任一向量 可以表示为 , 其中 C. 对实数 不一定在平面 内 D. 对平面 中的任一向量 , 使 的实 数 有无数对 【解析】由基底的定义可知, 和 是平面上不共线 的两个向量, 所以若实数 使 , 则 , 不是空间任一向量都可以表示为 的 形式, 而是平面 内的任一向量 , 可以表示为 的形式, 此时实数 有且只有一对, 而对实数 , 一定在平面 内, 故选 。 【补充训练