第04讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第04讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【题型归纳目录】 题型一：分类加法计数原理 题型二：分步乘法计数原理 题型三：两个原理的对比应用 题型四：涂色问题 题型五：数字排位问题 题型六：占位模型中标准的选择 题型七：列举法 【知识点梳理】 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 1、分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、加法原理的特点是： ① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 知识点二、分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2、乘法原理的特点： ① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ② 完成每一步有若干种方法； ③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别： 1、分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关． 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用 1、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： （1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？ （2）然后考虑如何完成？主要有三种类型 ①分类或分步． ②先分类，再在每一类里再分步． ③先分步，再在每一步里再分类，等等． （3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？ 【典型例题】 题型一：分类加法计数原理 例1．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（    ） A．7种 B．12种 C．4种 D．3种 【答案】A 【解析】解:由题知某校开设A类选修课4门,B类选修课3门, 共7门, 故该同学的不同选法共有7种. 故选:A 例2．（2022·湖北·十堰东风高级中学高二阶段练习）某校高二年级举行健康杯篮球赛，共20个班级，其中1、3、4班组成联盟队，2、5、6班组成联盟队，一共有16支篮球队伍，先分成4个小组进行循环赛，决出8强（每队与本组其他队赛一场），即每个组取前两名（按获胜场次排名，如果获胜场次相同的就按净胜分排名）；然后晋级的8支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，淘汰赛第一轮先决出4强，晋级的4支队伍要决出冠亚军和第三、四名，同时后面的4支队伍要决出第五至八名，则总共要进行篮球赛的场次为（    ） A．32 B．34 C．36 D．38 【答案】C 【解析】在循环赛阶段，4个小组，每个小组由4支球队组成，每个球队都要进行三场比赛，故每组要进行场，4组要进行场； 在淘汰赛阶段，第一轮：8支球队，2支一场，则共进行； 第二轮：8支球队，2支一场，共进行场， 此时决出分别争夺冠亚军、第三四名、第五六名、第七八名的球队，再分别进行4场，决出冠军、亚军、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名. 综上，可得共进行场. 故选：C. 例3．（2022·全国·高二课时练习）若、，，，且，则平面上的点共有（    ）． A．21个 B．20个 C．28个 D．30个 【答案】C 【解析】根据题意，可取的值为， 当时，由题意可知可取的值为，共7种； 当时，由题意可知可取的值为，共6种； 当时，由题意可知可取的值为，共5种； 当时，由题意可知可取的值为，共4种； 当时，由题意可知可取的值为，共3种； 当时，由题意可知可取的值为，共2种； 当时，由题意可知可取的值为，共1种； 则平面上的点共有个， 故选：C 题型二：分步乘法计数原理 例4．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 【答案】A 【解