第03讲 平面向量坐标运算5种题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第3讲 平面向量坐标运算5种题型 【考点分析】 考点一：平面向量基底的概念 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 考点二：平面向量的正交分解及坐标表示 ①平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． ②平面向量的坐标表示 1.正交基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． 2.平面向量坐标表示：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． 考点三：向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 考点四：平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 【题型目录】 题型一： 平面向量的坐标运算 题型二： 平面向量数量积的坐标运算 题型三： 平面向量坐标共线，垂直问题 题型四：平面向量坐标模的计算 题型五： 平面向量坐标运算中的夹角，投影问题 【典型例题】 题型一： 平面向量的坐标运算 【例1】已知向量，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【例2】已知点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【例3】设平面向量，点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设B点坐标为，则可得的坐标，根据题意，列出等式，即可得答案. 【详解】设B点坐标为， 所以，解得， 所以B的坐标为. 故选：B 【例4】平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由求解即可. 【详解】设，由平行四边形可得，即，解得，故. 故选：D. 【例5】已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点P的坐标，利用向量的坐标运算结合相等向量，列式计算作答. 【详解】设，则，，因， 从而有，解得， 所以P点的坐标为. 故选：A 【例6】在四边形中，，分别为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为，分别为边的中点， 所以，所以.故B，C，D错误. 故选：A. 【题型专练】 1．已知点，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可. 【详解】，所以. 故选：D. 2．已知平面向量，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为平面向量坐标运算的加减数乘运算. 【详解】因为，，则，， 所以 故选：D 3．已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何关系与向量的坐标表示求解 【分析】由题意得，设， 则，， 解得， 故选：D 4．若，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算即可求得. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：C 5．平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________． 【答案】 【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【详解】因为点，所以 故答案为： 6．已，分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第______象限. 【答案】四 【解析】由向量的正交分解可得点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限. 【详解】由题意得： ，    位于第四象限 故答案为：四 【点睛】本题考查由向量的正交分解确定点所处的象限问题，属于基础题. 7．如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标. 【答案】， 【分析】依题意，分别是，角的终边与单位圆的交点，设，．由三角函数的定义，求出、的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得. 【详解】解：由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点． 设，．由三角函数的定义， 得，，∴． ，，∴． ∴，． ∴， 题型二： 平面向量数量积的坐标运算