专题5 微切口3 圆锥曲线中定值与代数论证问题-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（基础版）

专题五 解析几何 闯关夺隘——赢在中档题之高考微切口 微切口3　圆锥曲线中定值与代数论证问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（基础版） (1) 求双曲线C的标准方程； 与长度或距离相关的定值 1 1 【解答】 1 由AF1∥BF2，设直线AF1的倾斜角为θ， 如图，连接AF1，BF2，由双曲线的定义可得|AF2|＝2a＋|AF1|＝|AF1|＋2，|BF1|＝2a＋|BF2|＝|BF2|＋2，又|F1F2|＝2c＝4. 在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos θ， 【解答】 　(2022·茂名二模)已知圆O：x2＋y2＝4与x轴交于点A(－2，0)，过圆上一动点M作x轴的垂线，垂足为H，N是MH的中点，记点N的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的方程； 2 与斜率相关的定值 2 【解答】 2 【解答】 所以k1＝4k2. (1) 求C的标准方程； 3 与面积相关的定值 3 【解答】 【解答】 3 圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略 1. 求代数式为定值：依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． 2. 求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． 3. 求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 4. 求面积为定值：一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可． 总 结 提 炼 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套精练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（基础版） 即c2－＝1，即1＋b2－＝1，所以b2＝3，所以双曲线的方程为x2－＝1. 　(2022·如东期末)在平面直角坐标系中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为e，且点(e，3)，(，b)都在双曲线C上． 由点(，b)在C：－＝1上，有－＝1，解得a2＝1. 由点(e，3)在C：－＝1上，有×－＝1， (2) 若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF1∥BF2，证明：＋为定值． 即(|AF1|＋2)2＝|AF1|2＋16－2×4·|AF1|·cos θ，所以|AF1|＝. 在△F1BF2中，∠F1F2B＝π－θ，同理可得|BF2|＝， 所以＋＝＋＝，所以＋为定值． 设N(x0，y0)，则H(x0，0)，因为N是MH的中点，所以M(x0，2y0)，又因为点M在圆O上，所以x＋(2y0)2＝4，即＋y＝1， 所以曲线C的方程为＋y2＝1. (2) 过作与x轴不重合的直线l(斜率存在)交曲线C于P，Q两点，直线OQ与曲线C的另一交点为S，设直线AP，AS的斜率分别为k1，k2.求证：k1＝4k2. 设直线l的方程为x＝my－，由x＝my－与＋y2＝1联立可得(m2＋4)y2－y－＝0，其中Δ＝＋4×(m2＋4)×>0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则S(－x2，－y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝， 所以k1＝kAP＝＝，k2＝kAS＝＝， 则＝·＝＝ ＝＝＝4， 　(2022·邯郸三模)已知点P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5. 因为△PAB的面积为5，点P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点， 所以有⇒故椭圆C的方程为＋＝1. (2) 过点Q(1，0)的直线l与C相交于点G，H(点G在x轴上方)，AG，BH与y轴分别交于点M，N，记S1，S2分别为△AOM，△AON(点O为坐标原点)的面积，求证：为定值． 由题意可知直线l的斜率不为零，故设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立消去x得(5m2＋9)y2＋10my－40＝0， 设G(x1，y1)，H(x2，y2)(y1>0)，因为y1y2＝<0，所以y2<0， 因为y1＋y2＝，y1y2＝，所以有4(y1＋y2)＝my1y2， 于是有＝＝＝＝， 因此为定值． A(－3，0)，B(3，0)，直线AG的方程为＝， 令x＝0，得y＝y1－＝，即M， 同理可得N， ＝＝＝·＝， $