专题6 特别策划——端点效应与必要性探路-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（提高版）

专题六 函数与导数 特别策划——端点效应与必要性探路 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 利用必要条件缩小参数范围 1 方法一：f(x)≤x恒成立可化为a＋(a＋1)x ln x≥0恒成立， 令φ(x)＝a＋(a＋1)x ln x，x∈(0，＋∞)，则φ′(x)＝(a＋1)(1＋ln x). 【解答】 1 方法二：f(x)≤x可转化为a＋(a＋1)x ln x≥0恒成立． 令φ(x)＝a＋(a＋1)x ln x，x∈(0，＋∞)，则φ(x)≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，由φ(1)≥0，得a≥0，则a＋1≥1. 变式　 当a＝2时，f(x)＝ex－x2.设g(x)＝(x2＋1)e－x－1(x>0)， 则g′(x)＝－(x－1)2e－x≤0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以g(x)<g(0)＝0，所以∀x>0，(x2＋1)e－x－1<0， 所以∀x>0，ex>x2＋1，所以f(x)>1. 【解答】 变式　 因为∀x>0，f′(x)≥x2ln x，所以∀x>0，ex－ax≥x2ln x．令x＝1，则a≤e. 又a∈N*，所以a≤2. 【解答】 因为ex≥x＋1，所以h′(x)>0⇔x>2； 所以当a＝2时，f(x)≥x2ln x恒成立，所以a的最大值为2. 已知函数f(x)＝x2ln x－x＋1，设实数m使得f(x)≥m(x－1)2对x≥1恒成立，求m的取值范围． 端点效应的应用 2 令g(x)＝f(x)－m(x－1)2＝x2ln x－x＋1－m(x－1)2，x≥1，g(1)＝0. g′(x)＝2x ln x＋x－1－2m(x－1)，g′(1)＝0，g″(x)＝2ln x＋3－2m在[1，＋∞)上单调递增． 【解答】 2 变式　　已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围． 【解答】 ①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0. 综上，a的取值范围是(－∞，2]. 1.必要性探路法：对于一类恒成立问题，可以通过取定义域内的某个特殊的值，得到一个必要条件，缩小范围讨论或者验证其充分性，进而解决问题．这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围，但是可以限定问题成立的大前提，缩小参数讨论范围，一定程度上降低了思维成本． 2.端点效应的三层心法(f(x)≥0在[a，b]上恒成立)：端点效应的核心思想是利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围即为所求(需要求导或者放缩进行验证). 总 结 提 升 总 结 提 升 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套热练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 已知函数f(x)＝x－－(a＋1)ln x(a∈R)，是否存在实数a，使得f(x)≤x恒成立？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 当a＋1>0时，若x∈，则φ′(x)<0；若x∈，则φ′(x)>0，即函数y＝φ(x)在上单调递减，在上单调递增，所以φ(x)的最小值为φ. 由φ≥0，得a≥.当a＋1＝0时，φ(x)＝－1，不合题意． 当a＋1<0时，若x∈，则φ′(x)>0，若x∈，则φ′(x)<0，即函数y＝φ(x)在上单调递增，在上单调递减，所以函数y＝φ(x)在(0，＋∞)上无最小值，不符合题意． 综上所述，当f(x)≤x恒成立时，实数a的取值范围为. φ′(x)＝(a＋1)(1＋ln x)，当x∈时，φ′(x)<0；当x∈时，φ′(x)>0，即φ(x)在上单调递减，在上单调递增，所以φ(x)的最小值为φ. 由φ≥0，得a≥，所以实数a的取值范围为. 已知函数f(x)＝ex－ax2(x>0，a∈R). (1) 当a＝2时，求证：f(x)>1. 已知函数f(x)＝ex－ax2(x>0，a∈R). (2) 是否存在正整数a，使得对一切x>0，f′(x)≥x2ln x恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由． 令h(x)＝－ln x，则h′(x)＝(x>0). h′(x)<0⇔0<x<2，所以h(x)≥h(2)＝－1－ln 2>0，所以h(x)>0，所以－ln x>0，所以ex－2x>x2ln x． 令g″(x)＝2ln x＋3－2m≥0，解得m≤(x≥1)，所以m≤. 因为实数m使得f(x)≥m(