专题5 微切口1 离心率的计算-（课件）【南方凤凰台】2023学年高考复习数学二轮提优导学案 全国（提高版）

专题五 解析几何 闯关夺隘——稳住中档题之高考微切口 微切口1　离心率的计算 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） 求离心率的值 1 1 【解析】 变式　 【解析】 (变式(1)) 如图(2)，设|AF1|＝3t，则|AB|＝4t，|BF1|＝5t， 所以|AF1|2＋|AB|2＝|BF1|2，所以∠F1AF2＝90°， 【解析】 (变式(2)) 所以|AF1|＝3t＝a，|AF2|＝2a－|AF1|＝a，所以△AF1F2为等腰直角三角形， 【解析】 (变式(3)) 因为∠F2AF1＝90°，|F2F1|＝2c，所以|F1A|2＝|F1B|2－|AB|2＝|F1F2|2－|AF2|2， 求离心率的范围 2 2 【解析】 变式　 在△PF1F2中，因为sin ∠PF2F1＝3sin ∠PF1F2，由正弦定理得|PF1|＝3|PF2|， 又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a. 【解析】 A　 由题意可设双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，则有|PF2|＝|PF1|－2a， 【解析】 即双曲线离心率的取值范围为(1，2]∪[3，6). (1，2]∪[3，6)　 【解析】 总 结 提 升 2.一般求离心率范围有以下两种方法 (1) 构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于a，b，c的不等式，转化为关于a，c的齐次不等式，得到e的范围． (2) 构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示e，研究参数范围，结合函数性质，得到e的范围． 总 结 提 升 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套热练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考总复习 二轮复习导学案 · 数学（提高版） (2022·全国乙卷)已知双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos ∠F1NF2＝，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 依题意，不妨设双曲线焦点在x轴，如图，过F1作圆D的切线， 切点为G，所以OG⊥NF1，因为cos ∠F1NF2＝>0，所以N在双曲线的右支，所以|OG|＝a，|OF1|＝c，|GF1|＝b， 设∠F1NF2＝α，∠F2F1N＝β，由cos ∠F1NF2＝，知cos α＝，则sin α＝，sin β＝，cos β＝. 在△F2F1N中，sin ∠F1F2N＝sin (π－α－β)＝sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝， 由正弦定理得＝＝＝，所以|NF1|＝sin ∠F1F2N＝×＝，|NF2|＝sin β＝×＝. 又|NF1|－|NF2|＝－＝＝2a，所以2b＝3a，即＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝. (1) 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足·＝0，若直线PF2与圆x2＋y2＝相切，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 2 所以4a2＝b2＝c2－a2，解得＝5，则e＝. 设直线PF2与圆x2＋y2＝相切，切点为M，如图(1)，连接OM，则OM⊥PF2， 因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF1∥OM, 且|OM|＝|PF1|＝，所以|PF1|＝b，由双曲线的定义可得 |PF2|＝2a＋|PF1|＝2a＋b， 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则b2＋(2a＋b)2＝4c2，整理可得2a＝b， (2) (2022·石家庄二模)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若|AF1|∶|AB|∶|BF1|＝3∶4∶5，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. 2－ C. D. 由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝12t＝4a，所以t＝， 可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，所以2a2＝4c2，所以该椭圆的离心率为e＝＝. 　 (3) 已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O：x2＋y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，且有|F2A|＝a，＝，则双曲线C的离心率是____． 如图(3)，因为|F2A|＝a，＝，所以|BA|＝a，|BF2|＝a， 又|F1B|－|F2B|＝2a，所以|F1B|＝a. 即－＝(2c)2－a2，化简得2c2＝3a2，所以e＝＝. (