第01讲 平面向量的概念-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的概念 1．向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量． （1）只有大小没有方向的量称为数量，如长度、质量、面积、体积等；而向量是不仅有大小而且有方向的量，如位移、速度、加速度、力等． （2）数量可进行代数运算，向量不能比较大小． （3）大小是向量的代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征． 【温馨提示】 （1）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度．记作． （2）零向量：长度为0的向量．记作．的方向是任意的． （3）单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 2．向量的表示法 （1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体与印刷体的不同． 3．相等向量和共线向量 （1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量、相等，则记作． （2）共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量、平行，记作．规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，都有． 考点1：向量的有关概念 【例1】（定义）下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】根据物理量的定义、性质知：质量、路程是标量，位移、重力、加速度为矢量即向量， ∴③④⑤是向量，①②是标量. 故选：C 【例2】（概念辨析）在下列结论中，正确的为（ ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．向量就是有向线段 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【详解】A．单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以该选项不正确； B．向量与向量只是方向相反，但长度相等，所以该选项正确； C．向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以该选项不正确； D．规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以该选项不正确.故选B． 1．理解零向量和单位向量应注意的问题 （1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． （2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 2．共线向量与平行向量 （1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别； （2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同； （3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度． 1．以下选项中，都是向量的是（ ） A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力 C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度 【答案】D 【详解】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量， 故选：D． 2．下列说法错误的是（ ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【答案】B 【详解】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确； B.规定零向量与任意向量都平行，故错误； C.平行向量就是共线向量，故正确； D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确； 故选：B 3．下列说法正确的是（ ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量没有方向 D．向量的模是一个正实数 【答案】A 【详解】 A：与的长度相等，方向相反，正确； B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误； C：零向量的方向任意，故错误； D：向量的模是一个非负实数，故错误. 故选：A 4．给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确； 对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确； 对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误； 对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错