5.1.4 用样本估计总体-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

5.1.4 用样本估计总体 一、用样本估计总体 1、前提：样本容量恰当，抽样方法合理. 2、必要性：（1）在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力；（2）有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体。 3、误差：估计一般是有误差的，但是，大数据定理可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性越来越大。 4、“大数据”简介：凡是可以被“数据化”的信息载体都可以看成数据，信息载体包括的数据量达到一定的规模或者达到一定的复杂程度，都可以被认为是“大数据”. 二、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 （1）众数：众数是最高的长方形底边中点所对应的数据； （2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，因此可以估计中位数的值，但是有偏差；中位数表示样本数据所在频率的等分线； （3）平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点。 2、常用结论 （1）一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可； （2）样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征。 以分两层为例： ①条件：假设第一层有个数，分别为，，……，，平均数为，方差为； 第二层有个数，分别为，，……，，平均数为，方差为； ②结论：如果记样本均值为，样本方差为，则， 三、用样本的分布估计总体的分布 如果总体在每一个分组的频率记为，，……，，样本在每一个分组的频率记为，，……，，一般来说，不等于0，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性越来越大。 题型一 样本平均数估计总体平均数 【例1】北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分满分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为（ ） A．33 B．34 C．35 D．36 【变式1-1】某企业三个分厂生产同一种电子产品，它们的产量分布如图所示，现用样本量按比例分配的分层随机抽样法，从它们的产品中抽取件产品测试其使用寿命，结果显示第一、第二、第三分厂被抽出产品的使用寿命的平均数分别是、、（单位：小时），据此估计该企业此电子产品的平均使用寿命为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】某班全体学生参加物理测试成绩的频率直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是（ ） A．70分 B．75分 C．68分 D．66分 【变式1-3】某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与19s之间，将测试结果按如下方式分成六组：，，，，，．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15s且小于17s的学生人数为y，平均成绩为z，则从频率分布直方图中可分析出x，y，z的值分别为（ ） A．90%，35，15.86 B．90%，45，15.86 C．90%，35，16 D．10%，45，16 题型二 样本中位数估计总体中位数 【例2】为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ） A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，14 【变式2-1】已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ） A．95，94 B．92，86 C．99，86 D．95，91 【变式2-2】我们来定义“中位数”：中位数即一组从小到大排列的数据中，处于“中间”位置的数据，也就是说有大约的数据小于中位数，也有大约的数据大于中位数，即中位数左、右两边的数据的频率之和是相同的，都为．请利用“中位数”的定义，并根据下列某一组数据的频率分布直方图，估算这组数据中位数的值． 【变式2-3】为了了解某地高一年级学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图（如图），则_____________；估计被抽取的学生跳绳次数的中位数是_