第05讲 三角函数-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（人教A版2019）

第05讲 三角函数 【学习目标】 1、任意角的概念，象限角的表示并能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题. 2、诱导公式的推导、记忆及符号的判断。 3、掌握三角函数的图像与性质 4、体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 5、对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解． 【考点目录】 考点一：任意角和弧度制 考点二：三角函数的概念 考点三：诱导公式 考点四：三角函数的图像与性质 考点五：三角恒等变换 考点六：伸缩变换 考点七：三角函数的应用 【基础知识】 知识点一：任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 知识点二：弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 知识点三：三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 知识点四：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点五：同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 知识点六：诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 知识点七：正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 知识点八：余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 知识点九：正切函数的性质 1、定义域： 2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 知识点十：三角恒等变换公式 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）和角公式 （）， （）， （）． （2）差角公式 （）， （）， （）． 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 3、降幂公式 ， ， ． 4、半角公式 ， ， ． 其中，符号由所在象限决定． 5、辅助角公式 ，其中，．叫做辅助角，的终边过点． 知识点十一：由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 【考点剖析】 考点一：任意角和弧度制 例1．（2022·江西·丰城九中高一期末）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由扇形面积与弧长公式可得，，，故，解得弧度数 故选：B. 例2．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故与其终边相同的角的集合为或 角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意 故选：C 例3．（2022·河南新乡·高一期末）“是第四象限角”是“是第