4.3.2等比数列的前n项和公式（第二课时）（教案+练习）-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精品备课（人教A版2019选择性必修第二册）

等比数列的前n项和公式第二课时 1.课时教学内容 等比数列前n项和公式 2.课时学习目标 (1) 掌握等比数列的前n项和公式及其应用； (2) 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。 3.教学重点与难点 重点∶等比数列的前n项和公式及其应用。 难点∶运用等比数列解决实际问题。 4.教学过程设计 环节一 知识回顾 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q＝1 求和 公式 环节二 例题解析： 例1：如图，正方形 的边长为，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形 开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。 解：设正方形的面积为，后续各正方形的面积依次为, ,…，则=25, 由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点， 所以=, 因此{}，是以25为首项，为公比的等比数列. 设{}的前项和为 （1）=== 所以，前10个正方形的面积之和为c. (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和 ， 而== 随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 例2：去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则=20, =6+1.5 = = =() 当时， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨. 解决数列应用题时 一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题； 二是：明确是求，还是求,细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题． 跟踪训练1. 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入． 解：由题意知第1年投入800万元， 第2年投入万元， …… 第n年投入万元， 所以每年的投入资金数构成首项为，公比为的等比数列． 所以n年内的总投入 (万元)． 由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为万元， …… 第n年旅游业的收入为万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400， 公比为的等比数列． 所以n年内旅游业的总收入 (万元)． 故n年内的总投入为万元， n年内旅游业的总收入为万元． 环节三 课堂检测： 1．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为(　　) A. B. C. D. 【答案】C　 2．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________. 【答案】－63 3．数列，，，…，的前n项和为________. 【答案】 环节四：课堂小结 （1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取； （2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列, 再建立不同的数学模型； （3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点. 环节五：课后作业： 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2018年为第一年，设第年出口量为吨，试求的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(,保留一位小数) 解： (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项，公比， ∴. (2)10年的出口总量 ∵，∴， 即，∴.故2018年最多出口12.3吨． 【巩固练习】 1．某森林原有木材量为a m3，每年以25%的速度