1.5 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题（课件PPT）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（湘教版）

1.5 二次函数的应用 第1章 二次函数 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题 优翼九下数学教学课件（XJ） 情境引入 短片中，卖咖啡的卖家使出浑身解数来赚钱. 点击视频 开始播放 → 导入新课 情境引入 商品买卖过程中，作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获得最大利润呢？ 例1 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元出售，那么一个月内售出 180 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 典例精析 二次函数与利润最大问题 新课讲授 ① 每件商品的销售单价上涨 x 元，一个月内获取的商品总利润为 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每月利润(元) 正常销售 涨价销售 10 180 10 + x 180 -10x y = (10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式 y = (10+x)(180 -10x)， 即：y = -10x2 + 80x + 1800. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 180 -10x ≥0，因此自变量的取值范围是 x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y = -10x2 + 80x + 1800 = -10(x - 4)2 + 1960. 当 x = 4 时，即销售单价为 34 元时，y 取最大值 1960 元. 答：当销售单价为 34 元时，该店在一个月内能获得最 大利润 1960 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或 “总利润=单件利润×销售量” (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出 函数图象的简图，利用简图和性质求解. 例2 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次.第1 档次(最低档次)的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 解：设生产 x 档次的产品时，每天所获得的利润为 w 元， 则 w = [12+2(x－1)][80－4(x－1)] = (10+2x)(84－4x) = －8x2 + 128x + 840 = －8(x－8)2 + 1352. 因为 x ≤ 9，故当 x = 8 时，w 有最大值，且w最大 = 1352. 答：该工艺师生产第 8 档次产品，可使利润最大， 最大利润为 1352 元. 二次函数与几何面积 例3 用长为 8 m 的铝材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 S (m2) 最大？最大透光面积是多少？(铝材宽度不计) x 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m. 这里应有 x ＞ 0， 故 0 ＜ x ＜ . 矩形窗框的透光面积 S 与 x 之间的函数关系式是： 即 配方得 所以，当 x = 时，函数取得最大值，最大值 S = . 因此，所做矩形窗框的宽为 m、高为 2 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 m2. x = 满足 0 ＜ x ＜ ，这时 知识要点 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值; 3. 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是 否在自变量的取值范围内. 例4 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长 l 的变化而变化.当 l 是多少时，场地的面积 S 最大？ 解:根据题意得 S = l (30 - l )， 即 S = -l 2 + 30l ( 0 ＜ l ＜ 30 ). 因此，当 时，S 有最大值， 此时， 也就是说，当 l = 15 m 时，场地的面积 S 最大. 变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 问题2 我们可以设面积为 S ，如何设自变量？ 问题3 面积 S 与 x