1.5 第1课时 抛物线形二次函数（课件PPT）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（湘教版）

1.5 二次函数的应用 第1章 二次函数 第1课时 抛物线形二次函数 优翼九下数学教学课件（XJ） 情景引入 观看白娘子许仙西湖断桥相遇视频. 点击视频 开始播放 → 导入新课 情景引入 白娘子初见许仙是在西湖断桥，现在有一座类似的拱桥，它的纵截面是抛物线的一部分，跨度是 4.9 m，当水面宽是 4 m 时，拱顶离水面 2 m．现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 你能想出办法来吗？ 探究 拱桥问题 新课讲授 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 已知水面宽 4 m 时， 拱顶离水面高 2 米， 因此点 A( 2，-2)在抛物线上，由此得出 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 如何确定 a 是多少？ 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是： 水面宽 3 m 时， 从而 因此拱顶离水面高 1.125 m. 现在你能求出水面宽 3 m时，拱顶离水面高多少吗？ 知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？ 典例精析 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A 点坐标为( 0，1.25 )，顶点 B 坐标为( 1，2.25 ). 数学化 ● B( 1 , 2.25) (0,1.25) ● C ● D o A x y 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为(2.5，0) ； 同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) . 设抛物线为 y = a( x + h )2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y =－ ( x - 1)2 + 2.25. ●B(1,2.25) (0,1.25) ● D o A x y ● C 运动中的抛物线及其他实物型抛物线问题 例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心 4 m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m，如果篮圈中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ 典例精析 解：如图，建立直角坐标系. 则点 A 的坐标是( 1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B ( 0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 解得 a = －0.2， k = 3.5， 设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = a(x - 0)2 +k ， 即 y = ax2 + k.而点 A，B 在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为 y =－0.2x2 + 3.5. 当 x = －2.5时，y = 2.25 . 故该运动员出手时的高度为 2.25 m. 2.25a+k = 3.05， k=3.5， x y O 1. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h ( m )可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t ( s ) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地. 4 2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y (米)关于水平距离 x (米)的函数解析为 ，那么铅球运动过程中： 最高点离地面的距离为 米. x y O 2 当堂练习 3