26.3 第1课时 运用二次函数解决实际问题（课件PPT）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（华东师大版）

26.3 实践与探索 第26章 二次函数 3. 求二次函数的表达式 优翼九下数学教学课件（RJ） 问题引入 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 米，水面宽是 4 米时，拱顶离水面 2 米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 导入新课 利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 上述问题，你能想出办法来吗？ 探究 新课讲授 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A x O y -2 2 1 -2 -1 A 问题3 如何确定 a 的值？ 因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 已知水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 m，因此点 A(2，-2)在抛物线上，由此得出 解得 由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是： 水面宽 3 m 时， 从而 因此拱顶离水面高 1.125 m 现在你能求出水面宽 3 m 时，拱顶离水面高多少吗？ 这条抛物线表示的二次函数为 y = x O y −2 −4 2 1 −2 −1 B 问题4 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 解得 即水面下降 1 m 时，水面宽度增加 我们来比较下面这些建系的方法 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适？为什么？ y y y y o o o o x x x x 解：设该拱桥形成的抛物线的表达式为 y = ax2. ∵ 该抛物线过 (10，-4)， ∴ -4 = 100a，a = -0.04. ∴ y = -0.04x2. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的表达式； O A C D B y x 20 m h 练一练 知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？ 典例精析 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得 A 点坐标为 (0，1.25)， 顶点 B 坐标为 (1，2.25). 数学化 o ● C ● D x y ● B(1，2.25) (0，1.25) A ● 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)； 同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) . 设 y 轴右侧的抛物线为 y = a(x + h)2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为 y = -(x - 1)2 + 2.25. ●B(1,2.25) (0,1.25) o A x y ● D ● C 例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心 4 m (水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m，如果篮圈中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ 典例精析 利用二次函数解决运动中抛物线型问题 解：建立如图的直角坐标系. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 设此以 B (0，