第四章 指数函数与对数函数 课件-2023届安徽省对口升学考试高三数学一轮复习

第四章 指数函数与对数函数 知识结构 命题趋势 本章内容在历年真题中出题数量基本保持在3~4道，主要涉及的知识点有：有理数指数和对数的运算，指数函数与对数函数的图像、单调性及其运算等.常与不等式、函数等知识相交汇. 第一节 有理数指数幂和幂函数 知识梳理 知识点一 指数幂的性质与运算 1.定义 正整数指数幂： 负整数指数幂： 分数指数幂： 零指数幂： 知识点一 指数幂的性质与运算 2. 有理数指数幂的性质 知识点一 指数幂的性质与运算 一般地，如果xn=a，那么x称为a的n次方根，其中n＞1，n∈N* 称为根式. n称为根指数，a称为被开方数. 3. 根式 性质 当n是奇数时， 当n是偶数时， 负数没有偶次方根 零的任何次根都是零 当n为任意正整数时, 知识点二 幂函数 1.幂函数的概念 形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数，x为自变量，幂函数的定义域是使得xα有意义的一切实数. 知识点二 幂函数 2、幂函数的性质 所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义， 并且图像都经过点(1，1). 如果α>0，则幂函数的图像过原点，并且在［0，+∞)上为增函数.如果α<0，则幂函数的图像在(0，+∞)上为减函数，在第一象限内，图像无限接近x轴与y轴. 幂函数图像分布在第一、二、三象限，第四象限无图像. 幂函数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称) 是奇函数时，图像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)； 是非奇非偶函数时，图像只分布在第一象限. 图像分布 过定点 单调性 知识点二 幂函数 2、幂函数的性质 奇偶性 图像 特征 当α为奇数时，幂函数为奇函数； 当α为偶数时，幂函数为偶函数. 当α= (其中p，q互质，p和q∈Z)， 若p为奇数q为奇数，则 是奇函数； 若p为奇数q为偶数，则 是偶函数； 若p为偶数q为奇数，则 是非奇非偶函数. 幂函数y=xα,x∈(0，+∞)， 当α>1时，若0<x<1，其图像在直线y=x下方， 若x>1，其图像在直线y=x上方； 当α<1时，若0<x<1，其图像在直线y=x上方，若x>1，其图像在直线y=x下方. 几个常见幂函数的图像和性质如表4-1所示 知识点二 幂函数 函数 图像 性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 y=x-2 {x|x≠0} {y|y>0} 在(-∞,0) 上单调递增, 在(0,+∞) 上单调递减 偶函数 关于y轴对称 y=x0 {x|x≠0} {y|y=1} 无增减性 偶函数 关于y轴对称 几个常见幂函数的图像和性质如表4-1所示 知识点二 幂函数 函数 图像 性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 {x|x≥0} {y|y≥0} 在(0,+∞) 上单调递增 非奇非偶函数 无 x∈R y∈R 在(-∞,+∞) 上单调递增 奇函数 关于原点对称 知识点二 幂函数 函数 图像 性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 y=x x∈R y∈R 在(-∞,+∞) 上单调递增 奇函数 关于原点 对称 x∈R {y|y≥0} 在(-∞,0) 上单调递减, 在(0,+∞) 上单调递增 偶函数 关于y轴对称 x∈R y∈R 在(-∞,+∞) 上单调递增 奇函数 关于原点对称 注意：幂运算时，注意将小数指数、根式都统一为分数指数，以利于变换. 典例解析 例1 计算 解析 技巧 点拨 进行有理数指数幂运算时 若底数是带分数，则通常将带分数化为假分数 若底数为小数，则将小数化成分数 若底数为根式，则将底数化成有理数指数幂的形式 然后再利用幂的运算法则求解 典例解析 例2 下列结论中正确的是(). A.幂函数的图像都经过（0，0）（1，1）两点 B.幂函数的图像不可能在第四象限 C.当α>0时，幂函数y=xα的值随x增大而增大 D.当α=0时，幂函数y=xα的图像是一条直线 解析 当α>0时，幂函数图像才经过（0，0），（1，1）两点 此时函数在（0，+∞）内为增函数； 当α<0时，幂函数图像只经过（1，1）点， 此时函数在（0，+∞）内为减函数； 当α=0时，图像不经过点（0，0）. 而当x>0时，y>0. 故本题选B. 明确幂函数的一般形式：y=xα，判断出函数是否是幂函数 确定指数α的值，不同的值所对应的图像和性质都会发生变化 确定它的定义域 1 2 3 技巧 点拨 第二节 指数函数 知识梳理 一、 指数函数的概念 y=a (a>0，且a≠1)，例如，y=2x,y=x 二、指数函数的图像和性质 函数 图像 图像特征 图