第六章 数列 课件-2023届安徽省对口升学考试高三数学一轮复习

第六章 数 列 知识结构 命题趋势 本章内容在历年真题中出题数量基本保持在两道，要求不高，难度不大，重点考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式. 第一节 数列的概念 知识梳理 知识点一 数列的概念 一般地，把按一定次序排成的一列数称为数列.数列中的每一个数都是这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（首项），第2项，第3项，⋯⋯，第n项，⋯⋯.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,⋯,简记作{an}，其中an是这个数列的第n项. 知识点二 数列的通项公式 如果一个数列{an}的第n项an 与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就称为数 列 的 通 项 公 式 , 即 a n = f (n ) . 因 此 , 如 果 已 知 一 个 数 列 的 通 项 公 式 , 那 么 只 要 依 次 用 1 ,2 ,3 ,4 , ... 代 替 公式中的n 就可以求出这个数列的各项 。 求数列的通项公式，通常先求出数列的前几项，再观察数列各项的值与它的序号之间的关系， 找出其中的规律，得出数列的通项公式. 不是所有的数列都有通项公式，如π的不同近似值数列，3,3.1，3.14,3.141，⋯ 有的数列的通项公式不一定唯一，如数列1，-1,1，-1,1，-1，⋯它的通项公式可以写成an=（－1）n－1，也可以写成 注意 注意 知识点二 数列的通项公式 知识点三 数列的分类 数列 特点 有穷数列、无穷数列 按照数列的项数是有限还是无限来分，数列可分为有穷数列和无穷数列.切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限项，就是有穷数列。 单调数列 按前后项之间的大小关系来分。 若前面的项永远小于它后面的项，即a1<a2<a3<⋯<an<⋯,这样的数列称为递增数列。 若前面的项永远大于它后面的项，即a1>a2>a3>⋯>an>⋯,这样的数列称为递减数列。 常数列 若数列的所有项均为同一个数，则称为常数列，如7，7，7，⋯,7,⋯. 知识点四 数列的前n项和Sn 数列的前n个数的和称为数列的前n项和，用Sn表示： 即Sn=a1+a2+a3+⋯+an. 前n项和Sn与通项公式an的关系 典例解析 ，- ，- ，2， ，2 ，， 例1 求下列各数列的一个通项公式 解析 （1）通项的符号规律是（-1）n-1，通项的分子为n+2，通项的分母为n+1，所以数列的通项公式为 ，- ，- ，2， ，2， （2）数列化为， ， ， ，故原数列的通项公式为an= （3）原数列变形为，， 的分子是n+2,通项的分母是3n+2，所以数列的通项公式为an= ，， 求数列的通项公式是找an与n的对应关系 观察、联想、类比、归纳和猜想 找出其变化规律 正确写出通项 注意 由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的. 技巧 点拨 1 根据已知条件，挖掘隐含条件 2 3 4 典例解析 解析 技巧 点拨 例2 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n， 求通项公式an. 因为Sn=n2+2n，所以有以下情况： 当n=1时,a1=S1=12+2×1=3 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1）2+2(n-1)]=2n+1 且当n=1时,2n+1=2×1+1=3,所以an=2n+1 由数列的前n项和表达式求通项公式时 但最终结果要根据具体情形一分为二，或合二为一. 典例解析 解析 技巧 点拨 例3 已知数列{an}的通项公式为an=2n2+3 (1)试写出该数列的前3项 (2)试判断75是不是该数列的项,若是,是第几项? (1)将n=1,2,3代入通项公式, 得a1=5,a2=11,a3=21. (2)由75=2n2+3得n=6或n=-6(舍去),所以75是该数列的第6项. 本题第（1）问是利用数列的通项公式求数列中的项，将n的值代入通项公式即可求解； 第（2）问是判断一个数是否为数列中的项，把这个数代入通项公式解关于n的方程即可，解出的n必须是正整数. 典例解析 解析 例4 已知数列 an 满足a1=1,an=3n-1+an-1 （n≥2 ）. (1)求a2,a4. (2)求数列an 的通项公式. （1）因为a1=1, 所以a2=3+a1=3+1=4. a3=32+a2=9+4=13. a4=33+a3=27+13=40. (2)由已知得an-an-1=3n-1. 所以a2-a1=3, a3-a2=32, a4-a3=33, …… an-an-1=3n-1 以上各式相加可得 an-a1 =3+32+……+3n-1= 所以 an +a1= +1= 技巧 点拨 利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有