4.1.2数列的递推公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.2 数列的递推公式 创设情境 1202年,意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1170—约1250)出版了他的《算盘全书》(Liber Abaci).他在书中收录了一些有意思的问题,其中有一个关于兔子繁殖的问题: 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每1对小兔子在它出生后的第3个月里,又能生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由1对初生的小兔子开始,50个月后会有多少对兔子? 在第1个月时,只有1对小兔子,过了1个月,那对兔子成熟了,在第3个月时便生下1对小兔子,这时有两对兔子,再过1个月,成熟的兔子再生1对小兔子,而另1对小兔子长大,有3对小兔子,如此推算下去,我们可以得到一个表格: 神奇的斐波那契数列 时间/月 初生兔子/对 成熟兔子/对 兔子总数/对 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 5 6 7 8 1 21 13 8 13 5 8 5 3 8 5 2 3 2 3 … … … … 从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …. 你发现这个数列的规律了吗? 探究新知 如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数,数列的规律是递推关系: Fn=Fn-1+Fn-2(n>2) 这个数列称为斐波那契数列. 递推公式 : 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 作用: 知道了首项和递推公式,就能求出数列的每一项了. 例4 图中的三角形图案称为谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中,着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式. (1) (2) (3) (4) 典例分析 解:在图中,着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1. 因此,这个数列的一个通项公式是 . 换个角度观察图可以发现,从第2个图形开始,每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样,例4中的数列的前4项满足: a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3. 由此猜测这个数列满足的公式为: 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察. (1) (2) (3) (4) 典例分析 例5 已知数列的第1项是1,以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项. 解:由题意可知 总结:递推公式也是给出数列的一种方法,根据数列的递推公式,可以逐次写出数列的所有项. 通项公式和递推公式之间的差别与联系: 回顾:到目前为止,数列一共有多少种表示方法? 探究新知 联系:都可以确定数列; 区别:通项公式表示的是项 递推公式表示的是项与项之间的关系 1. 根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式,并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 课本P8 2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项: 课本P8 课本P8 n 在对数列的研究中,求数列某些项的和是主要问题之一. 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即 Sn =a1+a2+...+an 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 探究新知 Sn 与an的关系式 思考: 已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗? 解:因为a1=S1=2, an=Sn-Sn-1 = n2+n -[(n-1)²+(n-1)] =2n(n≥2), 并且当n=1时,a1=2×1=2依然成立. 所以{an}的通项公式是an=2n. 典例分析 由Sn 求an需要检验 课本P8 1.已知数列{an} 满足:,=1- ,设数列 {an} 的前项和为Sn ,则( ) A.1007 B. 1008 C. 1009.5 D. 1010 巩固练习: 4.已知数列{an} 的前项积为Tn , 满足:Tn= ,求数列 {an} 的通项公式。 当n=1时也适合上式 5.已知数列{an}满足 a1 = 1,an = an-1+1 (n ≥ 2), 写出这个数列的通项公式. 解:(1)由递推式可得, a2-a1 = 1, a3-a2 = 1, … an-an-1 = 1 把以上 n-1 个式子相加,得 an -a1 = n -1 ∴数列的通项为 an = n. 总结:一般递推关系为an+1= f (n)+an,即an+1 - an = f (n