第09讲 指数与指数函数（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（北师大版2019必修第一册）

第9讲 指数与指数函数 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：根式的化简(求值) 必会题型二：分数指数幂的计算 必会题型三：指数函数的图象及应用 必会题型四：指数型复合函数有关的单调性、奇偶性及值域 必会题型五：与指数函数的相关的综合问题 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．根式：正数a的正n次方根叫作a的n次算术根；根式具有的性质： (1)()n＝a(n＞1，且n∈N＋)； (2)＝ (3)＝0； (4)＝()n(a≥0) [名师点睛]根式的化简，常先把根式转化为分数指数，运用指数的运算性质化简后，再转化为根式． 2．分数指数幂：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝它就是分数指数幂． (1)指数幂几个结论： ①正分数指数幂的根式形式：＝(a＞0)． ②负分数指数幂的意义： (a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)． ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)指数幂的运算性质，若a＞0，b＞0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质： ①am·an＝am＋n；②(am)n＝am·n；③(ab)m＝ambm． 3．指数函数定义：函数y＝ax叫作指数函数，其中底数a＞0且a≠1，定义域为R，值域为(0，＋∞)． 4．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像和性质 a＞1 0＜a＜1 图像性质 (1) R上的增函数 (2)①x＞0时，y＞1； ②x＜0时，0＜y＜1 (1) R上的减函数 (2)①x＞0时，0＜y＜1； ②x＜0时，y＞1 共同性质 (1)定义域：R (2)值域(0，＋∞) (3)过定点(0，1)点，即x＝0时，y＝1 5．比较指数值大小的方法 6．指数函数综合性质 (1)定点：形如y＝k·ax＋c＋b的函数图象恒过定点(－c，k＋b) (2)对称规律：y＝axy＝a－x； y＝axy＝－ax；y＝axy＝－a－x (3)底数大小规律：作直线x＝1与y＝ax交于点(1，a)，如图则有0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1 7．形如f(x)＝ag(x)的函数： (1)f(x)＝ag(x)的定义域与g(x)的定义域相同 (2)f(x)＝ag(x)的单调性[同增异减]： ①a＞1时f(x)与g(x)的单调性相同 ②0＜a＜1时f(x)与g(x)的单调性相反 (3)f(x)＝ag(x)的值域：先求t＝g(x)的值域，再利用f(t)＝at的性质求函数值域即可． 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：根式的化简(求值) 1．(2022·全国·高一课时练习)若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 2．(2022·北京丰台·高一期中)下列各式正确的是(    ) A． B． C． D． 3．[多选](2021·浙江·高一期中)下列等式不成立的是(    ) A．，且) B．，且) C． D． 必会题型二：分数指数幂的计算 1．[多选](2022·河南·濮阳一高高一期中)已知，则下列选项中正确的有(    ) A． B． C． D． 2．(2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高一期中)计算______________． 3．(2022·广东·雷州市白沙中学高一阶段练习)求值：________； 4．(2022·湖南·长郡中学高一期中)(1)计算：； (2)已知，求的值． 必会题型三：指数函数的图象及应用 1．(2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测(理))已知，， ，则、、的大小关系为(    ) A． B． C． D． 2．(2022·江苏省新海高级中学高一期中)已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是(　　　) A． B． C． D． 3．[多选](2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)若，则(    ) A． B． C． D． 4．(2022·陕西·周至县第四中学高一期中)已知函数它的图像恒过点A，则点A的坐标为________． 5．(2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期中)若函数且)与的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________． 6．(2022·河南洛阳·高一期中)已知，且)． (1)解关于x的不等式； (2)若，且对，，求实数n的取值范围． 必会题型四：指数型复合函数有关的单调性、奇偶性及值域 1．[多选](2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中)已知函数，，则下列结论正确的是(    ) A．为奇函数 B． C． D． 2