第08讲 幂函数及函数的综合（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（北师大版2019必修第一册）

第8讲 幂函数及函数的综合 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：幂函数的概念与判断 必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象 必会题型三：幂函数的奇偶性及单调性 必会题型四：几类常见函数模型 必会题型五：函数的综合应用 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．幂函数的概念：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α(注：α为任意实数)，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．幂函数满足三个特征： (1)幂xα的系数为1； (2)底数只能是自变量x，指数是常数； (3)项数只有一项．只有满足这三个特征，才是幂函数． 形如y＝(2x)α，y＝2·xα，y＝xα＋2等形式的函数不是幂函数． 2．幂函数的图像及性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；幂函数的图像过定点(1，1)； (2)当α＞0时，在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，在(0，＋∞)上单调递减． (3)当α≤0时，幂函数与坐标轴无交点 3．幂函数的奇偶性：令‍(其中‍‍互质，‍．) (1)若‍‍为奇数，则‍‍的奇偶性取决于‍‍是奇数还是偶数．‍当‍‍是奇‍数时，‍‍是奇函数；当‍‍是偶数时，‍‍是偶函数． (2)若‍‍为偶数，则‍‍必是奇数，此时‍‍既不是奇函数，也不是偶‍函数． 4．常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：幂函数的概念与判断 1．(2022·广东·深圳外国语学校致远高中高一阶段练习)下列函数是幂函数的是(    ) A． B． C． D． 2．(2021·全国·高一专题练习)下列函数中，不是幂函数的是(    ) A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2 3．[多选](2021·湖南·长沙市实验中学高一期中)(多选)下列函数是幂函数的是(    ) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝ D．y＝(x＋1)3 必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象 1．(2022·全国·高一专题练习)已知幂函数的图象过点，则的定义域为(    ) A．R B． C． D． 2．(2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习)已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为(    ) A．-2 B．0 C．2 D．2或-2 3．已知幂函数(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(    ) A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 4．[多选](2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期中)下列说法正确的是(    ) A．若幂函数的图象经过点，则幂函数的解析式为. B．若函数，则在区间上单调递减. C．若正实数，满足，则. D．若函数，则对任意，有. 5．(1)函数的定义域是_____，值域是_____； (2)函数的定义域是_____，值域是_____； (3)函数的定义域是_____，值域是_____； (4)函数的定义域是_____，值域是_____. 6．(2021·浙江·高一期中)已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值和函数的解析式； (2)解关于x的不等式. 必会题型三：幂函数的奇偶性及单调性 1．(2022·辽宁·高三阶段练习)已知幂函数在上是减函数，则实数的值为(    ) A．2 B．0 C． D．或2 2．已知函数()是幂函数，其图像关于原点对称，且与轴､轴均无交点；则下列说法错误的是(    ) A．函数既无最大值也无最小值 B．函数恰有两个不同零点 C．函数的定义域为 D．函数为减函数 3．[多选](2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高一期中)关于幂函数，下列说法正确的是(    ) A．若，则的定义域是 B．若，则是减函数 C．若的图象经过点，则其解析式为 D．若，则对于任意的，都有 4．(2022·内蒙古·阿拉善右旗第一中学高一期中)已知幂函数)是偶函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若实数，，)满足，求的最小值． 必会题型四：几类常见函数模型 1．(2022·河南·高一期中)某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件(单位：件)(∈N*)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30(单位：元)，当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________ 2．某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产