3.1.3函数的单调性课件-2022-2023学年高一上学期人教版（2021）中职数学基础模块上册

　  3.1.3 函数的单调性 学习目标 1. 理解增函数、减函数的定义及增函数、减函数的图像 特征，初步掌握函数单调性的判定方法． 2．能正确地使用符号语言刻画函数的单调性． 问题 在乘坐电梯时，乘客所处的高度h是所用时间t的函数吗？h如何随着t的变化而变化？ 导入 可以知道， h是t的函数，电梯上行时，随之时间t的增加，高度h在不断 ； 电梯下行时，随之时间t的增加，高度h在不断 增大 减小 这反映了函数怎样的性质规律呢？ 温故夯基 借助函数 y=2x，y=-2x，y=x²的图像进行研究 我们可以看到，当自变量x在(-∞，+∞)上由小变大时，函数y=2x的函数值也随着增大，y=-2x的函数值反而减小，在区间(-∞，0]上，函数y=x² 的函数值随着自变量x的增大而减小，在区间[0，+∞)上，函数值随着自变量x的增大而增大。 为了刻画函数的这种性质，我们引入增函数和减函数的概念. O x y x1 x2 f(x1) f(x2) O x y x1 x2 f(x2) f(x1) 增函数：在给定的区间上自变量增大（减小）时，函数值也随着增大（减小），这时称函数在这个区间上是增函数. 减函数：在给定的区间上自变量增大（减小）时，函数值反而随着减小（增大），这时称函数在这个区间上是减函数. 知新益能 从左往右，图像连续上升 从左往右，图像连续下降 如果能够画出一个函数的图像，那么我们很容易判断这个函数在某个区间上的增减性. 例1 给出函数 y = f (x) 在[-1 , 4]的图象，如图所示，根据图象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间上是减函数？ 解：函数在区间 上是增函数； 在区间 上是减函数。 2 3 x 1 4 -1 O y [0，1]和[3，4] [-1，0]和[2，3] 如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有（严格的）单调性.这个区间就称为这个函数的单调区间。函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间. 比如函数y=x²，在区间(-∞，0]上单调递减，在区间[0，+∞)上单调递增，或者说函数y=x²的单调递减区间是(-∞，0]，单调递增区间是[0，+∞). 下面讨论，如何由一个函数的解析式来判断这个函数是增函数还是减函数. 已知函数y = f (x)，在给定的区间上，它的图象如下图所示，在此图像上任意选取两点 A(x1，y1)，B(x2, y2)，且 x1 ≠ x2 ，记x = x2－x1，y = f (x2)－f (x1) = y2－y1． 自变量增大，函数值也增大． 自变量减小，函数值也减小． D x D y ＞0 增函数 O x y x1 x2 f(x1) f(x2) x y x表示自变量x的增量或变化量； y表示因变量y的增量或变化量. D x D y ＜0 减函数 例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间(－∞，+∞)上是 增函数． 证明：设 x1，x2 是任意两个不相等的实数，则 y = f(x2) － f(x1) = (3x2+2) －(3x1+2) 因此，函数 f(x)＝3 x＋2在区间 (-∞，+∞)上是增函数． x = x2 － x1 取值 定号判断：当 k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当 k＜0时，函数在这个区间上是减函数 计算 探究 = 3(x2 － x1) 总结：由函数的解析式判定函数单调性的步骤： S1 取 x ，计算 y． S2 计算 k = S3 当 k＞0时，函数在这个区间上是增函数； 　 　当 k＜0时，函数在这个区间上是减函数． Dx Dy 新授 证明：设 x1，x2 是(0,+∞)内的任意两个不相等的正实数，则  y = f (x2)- f (x1) 因此 f (x) = 在区间(0 ，＋∞)上是减函数． 例3　求证：函数 f (x) = 在区间(0，＋∞)上是减函数． x = x2- x1 练习： 证明函数 f (x) = 在区间(-∞，0)上是减函数． 探究 1.函数单调性的定义. 2.判定函数单调性的方法.（观察图像或者用定义） 小结 问题探究 1．在增、减函数定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？ 提示：不能