4.1 两个计数原理-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

4.1　两个计数原理 4.1.1　分类加法计数原理 4.1.2　分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 如果完成一件事有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,每种方法都能独立完成这件事,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法,我们把分类加法计数原理称为分类计数原理,或加法原理. [思考1] 分类加法计数原理有什么特征? 提示:任何一类方案中的任何一种方法都能完成这件事. 2.分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有m2种不同的方法,…,第n步有mn种不同的方法,每个步骤都完成才算做完这件事,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法,我们把分步乘法计数原理称为分步计数原理,或乘法原理. [思考2] 分步乘法计数原理有什么特征? 提示:分步就是完成这件事的任何一种方法,都要分成n个步骤,要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤,这件事才算完成. 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 本质 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事,它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 各类 (步)的 关系 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的,即“分类互斥” 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保连续性,“独立”确保不重复,即“分步互依” [思考3] 如何区分完成一件事是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理? 提示:(1)如果完成一件事的各种方法是相互独立的,互斥的,每一类方法都能完成这件事情,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类加法计数原理. (2)如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才算完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步乘法计数原理. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(　×　) (2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出26+10=36(种)不同的号码.(　√　) (3)在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事.(　√　) (4)在一次运动会上有四项比赛,冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有43种.(　×　) 2.某同学在书店发现3本好书,决定至少买其中的1本,则购买方法有(　C　) A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 3.现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤,如果一件上衣和一条长裤配成一套,则不同的搭配法种数为(　B　) A.7 B.12 C.64 D.81 4.从甲地到乙地有2种走法,从乙地到丙地有4种走法,从甲地不经过乙地到丙地有3种走法,则从甲地到丙地的不同走法种数是(　B　) A.2+4+3 B.2×4+3 C.2×3+4 D.2×4×3 　分类加法计数原理 [例1] 某校高三共有三个班,其各班人数如表所示: 班级 男生人数 女生人数 总数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选一名学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选一名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 解:(1)从三个班中任选一名学生,可分三类: 第一类,从高三(1)班任选一名学生,有50种不同选法; 第二类,从高三(2)班任选一名学生,有60种不同选法; 第三类,从高三(3)班任选一名学生,有55种不同选法. 由分类加法计数原理知,不同的选法共有N=50+60+55=165(种). (2)由题设知共有三类: 第一类,从高三(1)班男生中任选一名学生,有30种不同选法; 第二类,从高三(2)班男生中任选一名学生,有30种不同选法; 第三类,从高三(3)班女生中任选一名学生,有20种不同选法. 由分类加法计数原理知,不同的选法共有N=30+30+20=80(种). 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 [变式训练1] 三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是多少? 解:设较小的两边长为x,y且x≤y, 则x≤y≤11,x+y>11,x,y∈N*. 当x=1时,y=11; 当x=2时,y=10,11; 当x=3时,y=9,10,11; 当x=4时,y=8,9,10,11; 当x=5时,y=7,8,9,10,11; 当