1.1 空间向量及其运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 1.空间向量的概念 (1)在空间内,既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量).向量的大小也称为向量的模(或长度).用有向线段表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,始点为A,终点为B的向量,记为,向量的模用||表示. (2)几类特殊的空间向量: 名称 定义及表示 零向量 始点与终点相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的,通常用0表示,零向量的模为0.|0|=0 单位向量 模等于1的向量称为单位向量,e是单位向量的充要条件为|e|=1 相反向量 与向量a大小相等、方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a 相等向量 大小相等、方向相同的向量称为相等向量.向量a和b相等,记作a=b 向量 平行 如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.规定零向量与任意向量平行 向量共线 两个向量a和b平行,记作a ∥b,两个向量平行也称为两个向量共线 向量共面 空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面;否则,称这些向量不共面 2.空间向量的线性运算 (1)加减运算及运算律: 空间向量加法交换律:a+b=b+a. (2)空间向量数乘运算: 给定一个实数λ与任意一个空间向量a,规定它们的乘积是一个空间向量,记作λa. ①当λ≠0且a≠0时,|λa|=|λ||a|. λa的方向: 当λ>0时,与向量a的方向相同; 当λ<0时,与向量a的方向相反. ②当λ=0或a=0时,λa=0. (3)空间向量的线性运算满足以下运算律: ①λ(μa)=(λμ)a; ②λa+μa=(λ+μ)a; ③λ(a+b)=λa+λb. 3.空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角: ①定义:平面内,给定两个非零向量a,b,任意在平面内选定一点O,作=a,=b,则大小在[0,π]内的∠AOB称为向量a与b的夹角,记作<a,b>,<a,b>∈[0,π]. ②当<a,b>=时,a⊥b. 约定零向量与任意向量都垂直. (2)空间向量的数量积的定义: 两个非零向量a,b的数量积(也称内积)定义为a·b=|a||b|cos<a,b>. (3)两个向量数量积的几何意义: 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线,即可得到向量a在向量b上的投影a′,a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积,特别地,a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量的数量积的性质: ①a⊥b⇔a·b=0; ②a·a=|a|2=a2; ③|a·b|≤|a|·|b|; ④(λa)·b=λ(a·b); ⑤a·b=b·a(交换律); ⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). (1)对空间任意两个向量a,b(b≠0),如果存在唯一实数λ,使a=λb,则a∥b. (2)如果存在唯一实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线,特别地,当λ=,即=时,B为线段AC的中点. (3)在直线l上取向量=a(a≠0),点P在直线l上的充要条件:存在实数t满足等式=+ta,即=+t.P是线段AB的中点的充要条件是=(+). (4)若a与b同向,则a·b=|a|·|b|; 若反向,则a·b=-|a|·|b|. (5)若θ为a,b的夹角,则cos θ=. (6)(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2. 　有关空间向量的概念的理解 [例1] 给出以下结论:①两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则 a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:两个空间向量相等,它们的起点,终点不一定相同,故①不正确;若空间向量a,b满足|a|=|b|,则不能判断出a=b,故②不正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=成立,故③正确;④显然正确;空间中任意两个单位向量的模必相等,但这两个向量不一定相等,故⑤错误.故选C. 针对训练: 如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,有下列四对向量:①与;②与;③与;④ 与.其中互为相反向量的有n对,则n等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:对于①与,③与,长度相等,方向相反,互为相反向量;②与长度相等,方向不相反;④与长度相等,方向相同.故互为相反向量的有2对.