第一章 空间向量与立体几何 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

章末总结 题型一　直线与平面的夹角 [典例1] (2020·新高考Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. (1)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD. 又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC. 因此AD⊥平面PDC. 因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC. 由已知得l∥AD. 因此l⊥平面PDC. (2)解:以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1). 由(1)可设Q(a,0,1), 则=(a,0,1). 设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则 即 可取n=(-1,0,a). 所以cos<n,>= =. 设PB与平面QCD所成角为θ, 则sin θ= ×=. 因为≤,当且仅当a=1时,等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为. 直线与平面所成的角是高考热点和难点,解决此类题时常利用向量法,解题关键是求平面的法向量,再由向量的夹角公式求解. 题组训练 1.(2018·全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明:平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. (1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF, 又PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD, 所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)解:如图,作PH⊥EF,垂足为H. 由(1)得,PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz. 由(1)可得,DE⊥PE. 又DP=2,DE=1,所以PE=. 又PF=1,EF=2,故PE⊥PF. 可得PH=,EH=. 则H(0,0,0),P(0,0,),D(-1,-,0), =(1,,),=(0,0,). 又为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为θ, 则sin θ===. 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为. 2.(2020·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F. (1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F; (2)设O为△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. (1)证明:因为M,N分别为BC,B1C1的中点, 所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN. 因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N. 又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN. 所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F. (2)解:由已知得AM⊥BC. 以M为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz,则AB=2,AM=. 连接NP,则四边形AONP为平行四边形, 故PM=,E(,,0). 由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC. 作NQ⊥AM,垂足为Q,则NQ⊥平面ABC. 设Q(a,0,0),则NQ=,B1(a,1,), 故=(-a,-,-), ||=. 又n=(0,-1,0)是平面A1AMN的一个法向量, 故sin(-<n,>)=cos <n,>==. 所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为. 题型二　二面角的求法 [典例2] (2019·全国Ⅰ卷)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. (1)证明:连接B1C,ME. 因为M,E分别为BB1,BC的中点, 所以ME∥B1C,且ME=B1C. 又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D. 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND, 因此四边形MNDE为平行四边形,所以MN∥ED. 又MN⊄平面C1DE,ED⊂平面C1DE, 所以MN∥平面C1DE. (2)解:由已知可得DE⊥DA. 以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,,2), N(1,0,2), =(0,0,-4),