2.5 椭圆及其方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（人教B版）

2.5　椭圆及其方程 2.5.1　椭圆的标准方程 选题明细表 知识点、方法 题号 求椭圆的标准方程 3,4,5,7,11 椭圆的定义及其应用 1,2,6,9,12 与椭圆有关的轨迹问题 8,10 基础巩固 1.已知P是椭圆x2+5y2=25上一点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,且|PF1|= 7,则|PF2|=(　B　) A.1 B.3 C.5 D.9 解析:由椭圆x2+5y2=25,可得a=5, 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10, 所以|PF2|=3.故选B. 2.(2022·江西南城二中高二月考)“ab>0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的(　B　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若方程ax2+by2=1表示椭圆,即方程+=1表示椭圆,所以解得所以由方程ax2+by2=1表示椭圆能推出ab>0,由ab>0推不出方程ax2+by2=1表示椭圆,如a=b=1方程x2+y2=1表示圆,故“ab>0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件.故 选B. 3.(多选题)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程可能为(　AB　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2, 因为△PF1F2为正三角形, 所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即=c. ① 又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为, 所以a-c=, ② 联立①②,可得a=2,c=,b==3. 因此a2=12且b2=9, 可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.故选AB. 4.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为　　　　　　.  解析:由已知2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+x2=1. 答案:+x2=1 5.已知椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,则椭圆C的标准方程为　　　　　　.  解析:法一　依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0). 从而有 解得 又a2=b2+c2,所以b2=12, 故椭圆C的标准方程为+=1. 法二　依题意,可设椭圆C的方程为 +=1(a>b>0),则 解得b2=12或b2=-3(舍去), 从而a2=16, 所以椭圆C的标准方程为+=1. 答案:+=1 6.已知椭圆C:+=1,则此椭圆的焦距长为　　 　　,设F1,F2为椭圆的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|=12,则|AB|=　　　　. 解析:由椭圆C:+=1可得a=5,b=4,c===3, 所以椭圆的焦距长为2c=6. 由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a=10, |BF1|+|BF2|=2a=10, 两式相加可得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=20, 因为|AF2|+|BF2|=12,所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8. 答案:6　8 能力提升 7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B,右顶点为A,过点F作x轴垂线,该垂线与直线AB交点为M,若=3,且△AFM的面积为,则椭圆C的标准方程为(　A　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 解析:依据=3, 可得== , 解得a=2c,|FM|=b, 又S△AFM=·(a+c)·=,a2=b2+c2, 解得a=2,b=, 则椭圆C的标准方程为+=1.故选A. 8.已知圆O:x2+y2=4,过圆O上一动点M作平行于x轴的直线m,设直线m与y轴的交点为N,若向量=+,则动点Q的轨迹方程为　　 　　　　　. 解析:设点M的坐标为(x0,y0),点Q的坐标为(x,y),点N的坐标为(0,y0), 因为=+, 所以(x,y)=(x0,2y0), 即x0=x,y0=, 又因为+=4, 所以x2+=4. 由已知,直线m平行于x轴,得y≠0, 所以Q点的轨迹方程是+=1(y≠0). 答案:+=1(y≠0) 9.已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|- |PF2|=2,则△PF1F2是　　　　三角形,△PF1F2的面积是　　　　. 解析:由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=2a=4, 又|PF1|-|PF2|=2,所以得|PF1|=3,|PF2|=1, 因此|PF2|2+|F1F